Analisi matematica 1 - preparazione per orale

Th. regolarità delle successioni

(a_n) monotona ⇒ dice regolare se a = lim a_n = sup (a_n) < +∞ ⇒ a_n ↗ dalla def di sup: a_n ≤ a ∀n ∈ ℕ ∀ε>0 ∃Nε∈ℕ: a - ε < a_n ≤ a+ε ∀n ≥ Nε dalla monotonia ∀n ≥ a_n ↗ aa_n < a_n+1 ≤ a_n + ε ∀n ≥ Nε ⇒ a_n = (a - ε)< a_n + ε.

Se a = lim a_n = inf (a_n) a_n ~> dalla defi degli inf: ∀ε>0 ∃Nε∈ℕ: a - ε < a_n ≤ a+ε ∀n ≥ Nε dalla monotonia a_n ~> a_n ≤ a_n+1 ∀n a_n+1 ≥ a_n+1 ~> a = (a - ε)< a_n + ε ∀n ≥ Nε.

Th. dei valore assoluto

Preso (a_n): a_n → a ⇒ |a_n| → |a| per altri della def di limite: ∀ε>0 ∃Tε∈N: n ≥ Tε ⇒ |a_n - a| < ε.

Dalla proprietà del valore assoluto: |a_n| ≤ |a+ε| |a_n| = |a| < |a| < |ε| < |a+ε| ε > 0 ∃N: n⇒|a| ~> |a_n| < |a| + ε.

Th. del confronto delle successioni

Presi (a_n) e (b_n):

• A_n ≤ b_n ∀n∈N
• A_n → b_n

Dim. per assunzione a≤b dalla def di limite avevamo che: p∈N: ∀n∈N n≥p a_n∈I_ε p∈N: ∀n∈N n≥p b_n∈I_ε quindi va: max n≥p max n '<' b_n ≤ con b_{n = |assurdo|}.

Th. dei carabinieri

(a_n), (b_n), (c_n) : a_n ≤ b_n ≤ c_n se b_n splta a e c δ∈R ⇒ m con x=y: i.c e≤ |a_n - a| e caso (c_n - b_n) : dalla monotonia: \exists I| e! e| ~> a_n ∈ I_ε p! ~> a_n ~> se a < b.

Criterio del rapporto delle successioni

Presci (a_n): a_n → 0 D1: a_n diverge qⁿ→ +∞ *q=1: a_n converge qⁿ→1 *q < 1 => qⁿ ⊥ ad-1<q<1: q^(1-q).

Th. regolarità delle successioni

(a_n) monotona ⇒ se regolare. Se a = lim (a_n) = sup (a_n) se S.E.R.: dalla def. di sup: a_n ≤ a + ε ∀n ∈ N a = lim a_n ⇒ |a - a_n|. Dalla monotonia: a_n ⇒ a_n > a - ε; a - ε n n - ε n - ε ∀n ⇒ con ε a + ε > a_n.

Se a = -∞: dalla def. di inf: a - ε n ∀n ∈ N a = lim a_n ⇒ |a - a_n| a_n > a + ε ∀n. Dalla monotonia: a_n > a_n a + ε > a_n.

Th. del valore assoluto

Preso (a_n): a_n ⇒ |a_n| ⇒ |a|. Oppure: dalla def. di limite: ∀ε>0 ∃n∈N: ∀n≥n⇒ |a_n|. Dalle proprietà del valore assoluto |a_n| n| n - a_n |a_n - a_n|). Dalla della def di limite: ∀ε>0 ∃n∈N: ∀n≥n ⇒ a_n - a.

Th. dei carabinieri

Preso (a_n), (b_n), (c_n) (a_n) ≤ (b_n) ≤ (c_n) Supp I_ε: c_n = a + ε (con c_n ⇒ a ∈ I_ε ∀n) dalla monotonia (a_n n ⇒ b_n ∈ I_ε).

Th. del confronto delle successioni

Preso (a_n e (b_n)

• A_n ≥ 0 b_n ⇒ b_n ≥ b
• A_n ≥ b_n ∀n∈N a_n = b_n ≠N

Dim. par assurdo a≤b. Dalla def. di limite avevamo che: a_n > a: ∀ε>0 ∃m∈N: ∀n≥m a_n∈I_ε b_n ∀ε>0 ∃m∈N: ∀n≥m b_n∈I_ε. Con a 0 a_n+1 n+1 = FIX n) = a_n+1 ε - (ε;) ( - ε;)^an _n.

Ponendo |yP {_n) = |x ()∈ ε. Caso 2: 2⁰; |r| lim →0 unificate analoge r: avversosuite analogo e r ∉ ^an+1 e con ε>0: e - ^ε r ATO. In questo esco il luce: AV INONO con une che diverge a +oo.

Th. di permanenza del segno

Quando le suite ci allà ancheonom eε0 a = lim certo punto in pe il termine della successione hanno lo stesso segno del termine. Presa (a_n):

• A_n > 0 ∀n∈N ⇒ a_n∅
• Α^0 a _nn

Den O. Val_e I_ec la applicandosca la def. di limite uilela tesi: ∃N∈N:n_n - a: nVale auicE :a ≠ a = a0.

Definizione di sup e di inf

∃∀ε0 ∃n∈N: min: n∃: s ∀ε0 ∃n∈N: minn min.

Definizione di limite

∀ε ∃n∈N: ∀n≥n ⇒ a_n ∈ I_ε.

Monotona

a_n ≤ a_n+1 ∀n∈N monotona crescente. a_n > a_n+1 ∀n∈N monotona decrescente.

Successione geometrica

a_n = qⁿ:

• *q > 1 ⇒ a_n diverge qⁿ→ +∞
• *q = 1 ⇒ a_n converge qⁿ → 1
• *q n indeterminate
• *|q| n converge q→0

Condizione necessaria alla convergenza

Se Σ converge => a_n -> 0. Ip: a_n = s e S_n dell'a def. di S_n a_n = S_n - S_n-1 -> stesso comportamento di s_n. S_n+1 - S_n = a_n+1 => S_n converg. => S_n - S_n-0 a_n = S_n+1 - S_n -> S_n - S_n = 0.

Criterio della radice

a_n >= 0 S : _n+1√a_n a_n/converg.. Ogni e > 0 Vn€N e^1/n L => 0 1/,n)ⁿ converg. a e - e¹L=_n√a_n e^L => 0 1/n) converge geom qq converge.

Criterio del confronto delle serie

Σ a_n Σ b_n

• A_n >= 0 b_n >= 0
• B_n conv => a_n conv b_n conv a_n => b_n div a_n

Criterio assoluta convergenza

Σ a_n segno qualitativo =>Σ |a_n| con a_n assolut. Se Σ |a_n| converge aⁿ >= a^l a_n+1. Precondiz.: a* < 0 a*0 < a* a - a* = a*.

Successione somme parziali

S_n S₂ = a₁ + a₂ S₃ = a₁ + a₂ + ... a_n.

Serie geometrica

Σ (qⁿ) converge S_n = l^q.

Serie armonica

Σ 1/ a_n converge per x > 1 diverge per a.

Serie di Mengoli

Converge con le somme e¹.

Th. Pontef

A → R A C R X0 ∈ A lim f(xn) = L ⇒ ∀(ε > 0)∃N ∈ N ∀n > N x ∈ X0. Con xN := {lim (xn) = x} ε P.N (ε;) lim f(x) = ε ovvero: ∀ε ∃I0, ∀x0 di I0 ∩ I0 - {x} ε I_ε ∀x ∈ I, ∃N ∈ N: ∀n > N ⇒ f(xn) ∈ I_ε, ∀xn ∈ I0.

Quindi: ∀(x ∈ N)(xn − x0) ⇒ f(xn) = ε. Assurdo, arriviamo prima di lui di lui io: ∃xn ≤ x0 | x1 x3 x5: {ε - x1, ε - x2}. Conseguentemente: {ε {∴IV[AI. C → A ∃]} (fa il punto di accumulazione di A) f(x0) ∈ ε. Conclusione furma punto di accumulazione ∈ «∀m(t)∃⇒ x | [N=0] (x=0).

Limite con valore

lim (f) - f(x) = 0 Teorema degli Zerif: a → R A C R A φ;x, f {c (a,b)}. Se il suo quarto è neg f(a), f(b) ︰ l'altra è positiva qualcun x ∈ [a,b] cialis con:

• 1ª parte: Replica il barisonec : a {"f(a + 2 b) 2} f(a) sotto {c(a,b)} = Scelgo un intervallo tra [a,c] e [c,b]
• L' uno e altri sono diversi 3 posteriores del 1, del 2, del 33) f(a) ∧ f(b) Rinomino e ottengo In:₀[a_n,b_n: ⁰₀, b_n: ...f(a_n