Analisi matematica 1 – Parte 2: calcolo differenziale: derivate, teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy e studio della convessità

Successioni asintotiche

Nel caso in cui ^a_n/_bn -> 1 si dice che {a_n} e {b_n} sono successioni asintotiche

a_n ~ b_n (a_n e' asintotico a b_n) es. sen(1/x) ~ 1/x -> lim_n->+oo sen(1/x)/(1/x) = 1

TEOREMA:

1. Se a_n e b_n sono successioni asintotiche, hanno lo stesso comportamento cioe' convergono entrambe allo stesso limite, divergono entrambe a infinito o non ammettono limite.
2. Si possono scrivere catene di successioni asintotiche: Se a_n ~ b_n e b_n ~ c_n, allora a_n ~ c_n
3. All'interno di un'espressione composta da un prodotto o da un rapporto in cui limite, sostituendo una funzione con un'altra che le e' asintotica, il risultato non cambia. Se a_n ~ a'_n; b_n ~ b'_n; c_n ~ c'_n allora lim_n->+oo a_nb_n/c_n ~ lim_n->+oo a'_nb'_n/c'_n

Non vale per la somma o la differenza lim_n->+oo a_n + b_n ? lim_n->+oo a'_n + b'_n

Funzioni reali di variabile reale

Una funzione e' una relazione tra gli elementi di due insiemi, A e B, tale che esiste uno e un solo elemento di B con cui l'elemento di A e' in relazione.

f: A -> B

x -> f(x)

V x in A, 3 f(x) in B

Dati due insiemi qualsiasi, A e B, una funzione f di dominio A e codominio B, e' qualsiasi legge che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B.

• Il DOMINIO di una funzione e' un insieme contenuto o uguale a IR, a cui appartengono i valori che puo' assumere la x, ovvero il piu' grande sottoinsieme di IR in cui la funzione e' definita, che corrisponde all'insieme degli elementi di A.
• Ad ogni elemento del dominio corrisponde un' IMMAGINE che appartiene a B. L'insieme delle immagini e': Im(f) = {u in IR | 3 x in D con u = f(x)} = f(D) e' in IR
• Il CODOMINIO di una funzione e' l'insieme degli elementi di B, cioe' i valori che puo' assumere u.
• Ad ogni elemento del codominio corrisponde una CONTROIMMAGINE che appartiene ad A.

Una funzione f: D in IR -> IR si dice:

• SUPERIORMENTE LIMITATA se 3 M in IR | f(x) <= M V x in D
• INFERIORMENTE LIMITATA se 3 M in IR | f(x) >= m V x in D
• LIMITATA se 3 M, m in IR | m <= f(x) <= M V x in D

Una funzione e' sup. limitata / inf. limitata / limitata se l'insieme Im(f) e' limitato.

Una funzione e' PARI se V x in D vale -x in D e f(-x) = f(x) e cioe' e' simmetrica rispetto all'asse y.

Una funzione e' DISPARI se V x in D vale -x in D e f(-x) = -f(x) e cioe' e' simmetrica rispetto all'origine.

Una funzione f: D in IR -> IR si dice:

• MONOTONA CRESCENTE se V x₁, x₂ in D con x₁ > x₂, f(x₁) >= f(x₂)
• MONOTONA STRETTAMENTE CRESCENTE se V x₁, x₂ in D con x₁ > x₂, f(x₁) > f(x₂)

MONOTONA DECRESCENTE se x₁,x₂ in I con x₁ > x₂ f(x₁) <= f(x₂)

MONOTONA STRETTAMENTE DECRESCENTE se x₁,x₂ in I con x₁ > x₂ f(x₁) < f(x₂)

Una funzione f: I in R -> R e' periodica di periodo T > 0 se T e' il piu' piccolo numero per cui f(x+T)=f(x) per ogni x in I

se f(x) ha periodo T allora f(wx) ha periodo T/w

es. f(x)=sen(x)

f(x+2pi)=sen(x+2pi)

f(x+pi)=sen(x+pi)

f(x-pi/2)=sen(x+2pi)

f(x+pi/2)=sen(x) -> T = pi/2

FUNZIONI COMP STE

Siano f: A in R -> R e g: B in R -> R, se f(A) in B, cioe' che per ogni x in A si ha che f(x) in B allora si puo' definire la funzione h: A -> R

h = (gof)(x) = g[f(x)]

es. f(x)=x²

g(x)=cos x

gof = g[f(x)] = cos(x²)

fo g = f[g(x)] = (cos x)²

[gof] e [fog] possono essere entrambe funzioni ben definite ma in generale sono diverse.

FUNZIONI INVERTIBILI e inverse

Sia f: A -> B, A in dom(f) f si dice:

• INIETTIVA quando gli elementi del codominio hanno al massimo una controimmagine.
• se per ogni x₁,x₂ in A, x₁ != x₂ => f(x₁) != f(x₂)
• se f(x₁) = f(x₂) => x₁ = x₂, x₁,x₂ in A

• SURIETTIVA quando gli elementi del codominio hanno almeno una controimmagine.
• se per ogni y in B esiste x in A tale che f(x)=y

• BIETTIVA quando gli elementi del codominio hanno una e una sola controimmagine. Queste funzioni sono dette biumivoche, cioe' sono sia iniettive sia suriettive.

Una funzione f: A -> B e' detta INVERTIBILE se e' biumivoca cioe'

se f e' iniettiva su A e suriettiva su B

Le funzioni biettive sono anche biumivoche e invertibili, e sono le uniche che ammettono funzione inversa.

La funzione INVERSA f^-1: B -> A, e' quella funzione che inverte dominio e codominio cioe' per cui

f o f^-1: B -> B, (f o f^-1)(y) = y per ogni y in B

f^-1 o f: A -> A, (f^-1 o f)(x) = x per ogni x in A

LIMITI DI FUNZIONE