Analisi matematica 1 - Numeri complessi

Numeri complessi

Possiamo definire i numeri complessi come dei vettori composti da una coppia di numeri ℝ² ∈. Essendo appunto vettori non siamo più in una sola dimensione ma in 2D, ergo alcune operazioni possono cambiare:

• Somma: (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) ℝ²
• Moltiplicazione: (a,b) * (c,d) = (ac - bd, ad + bc) ℝ² ℂ

Dato che con le operazioni sopra definite acquisisce le proprietà necessarie per formare un campo numerico ℝ, chiamiamo questo campo:

Adesso le coppie di numeri sono formate da una parte reale e una parte immaginaria, ricordiamo che a e b sono sempre reali dove ib rappresenta il numero complesso ℂ. Ricordiamo che i² = -1 pertanto i ma iℝ∉ ∈.

Definiamo alcune funzioni

• Re: Re(a+ib) = a. La funzione Re restituisce la parte reale del numero.
• Im: Im(a+ib) = b. La funzione Im restituisce la parte immaginaria del numero.
• Valore assoluto: |a+ib| = funzione del valore assoluto. Questa funzione si chiama coniugio e le sue proprietà sono molteplici.
• Funzione arg(z): la funzione arg(z) indica la misura in radianti compresa tra 0 e 2π, dell’angolo con l’asse delle x.

Forma trigonometrica di un numero complesso

Siamo passati dalla forma algebrica alla forma trigonometrica, abbiamo cercato di creare i presupposti in modo tale da poter conoscere il sin e il cos dell’angolo, sapendo che = cos 30 e 1/2 = sin 30 posso portare fuori il 2, che ⎷3 / 2 sarebbe e, rappresentativo del modulo del numero complesso. Abbiamo infine convertito i valori in cos e sin in modo tale da poter svolgere operazioni come somma e moltiplicazione in modo più veloce.

Moltiplicazione tramite forma trigonometrica e formula di De Moivre

Teorema delle radici n-esime ₀

N.B. nel caso di radici quadrate, troviamo che = -₁, poiché avremo + ovviamente.

Da pagina 207 fino a 210 ci sono degli esercizi interessanti come equazioni con i numeri complessi e con esponenziali.

Equazioni di secondo grado

Consultare la pagina 209.