Analisi matematica 1

Vettori applicati:

Def: Un vettore applicato è un segmento orientato nello spazio.

• Il segmento di estremi A e B è l'intervallo della retta passante per A e B con estremi A e B

• Segmento orientato: stabiliamo qual è l'estremo iniziale e quello finale
• Un vettore applicato determina:
  • direzione
  • verso
  • modulo

Vettori applicati:

Def: Un vettore applicato è un segmento orientato nello spazio.

• Il segmento di estremi A e B è l'intervallo della retta passante per A e B con estremi A e B.

Segmento orientato: stabiliamo qual'è l'estremo iniziale e quello finale.

• Un vettore applicato determina:
  • direzione
  • verso
  • modulo

• Due vettori applicati hanno la stessa direzione se le due rette determinate da ciascuno di essi sono parallele o coincidenti.

Un vettore applicato determina la retta passante per A e B

v₁ e v₂ hanno lo stesso verso

v₁ e v₃ (e v₂ e v₃) hanno versi opposti.

• Due vettori con la stessa direzione hanno lo stesso verso se "puntano dalla stessa parte".

• Il modulo di un vettore applicato è la sua lunghezza (distanza tra estremo iniziale ed estremo finale) è un numero >= 0

Il modulo di AB si denota |AB|

Def: Due vettori AB e CD si dicono equipollenti se hanno la stessa direzione, stesso verso e stesso modulo.

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Osservazioni:

1) AB = CD ↔ A = C e B = D

Due vettori applicati coincidono se e solo se coincidono gli estremi iniziali e gli estremi finali.

2) Se AB e AC sono equipollenti, allora coincidono anche gli estremi finali. Cioè B = C e per (1) AB = AC

Vettori applicati nell'origine.

Fissiamo un punto O (origine) nello spazio.

E_O³ = { vettori applicati in O } = { OA vettori applicati }

Regola del parallelogramma

Def.: Dati due vettori OA e OB in E_O³ (entrambi applicati nell' origine) definiamo...OB = OC...

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(origine) definiamo

_OA + _OB = _OC

dove O, A, B, C sono vertici di un parallelogramma

Disuguaglianza triangolare

|_OC| ≤ |_OB| + |_BC| =

= |_OB| + |_OA|

Modulo della somma è ≤

della somma dei moduli

C è l'estremo finale

del vettore applicato in B

equipollente a _OA

e l'estremo finale del vettore

applicato in A equipollente

a _OB

_OA + _OB = _OC

|_OC| = |_OA| + |_OB|

hanno stessa direzione e verso

|_OC| = |_OA + _OB| = ||_OA| - |_OB||

valore assoluto di numeri reali

Proprietà dell'operazione di somma in ℰ₀³

• OA + OB = OB + OA Vale la proprietà commutativa.
• (OA + OB) + OC = OA + (OB + OC) Vale la proprietà associativa.

Consideriamo il vettore nullo OO estremo iniziale = estremo finale = 0 non determina direzione né verso. Ha modulo nullo |OO| = 0

OA + OO = OA ∀ OA ∈ ℰ₀³ il vettore nullo è l'elemento neutro per la somma

- Dato OA, esiste ed è unico OB t.c. OA + OB = OO = O

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lo denotiamo con

ha stessa direzione di,

stesso modulo di

verso opposto ad

La somma di vettori applicati in ammette un inverso

Definiamo la differenza di vettori applicati nell'origine

Def:

è il vettore applicato in O

equipollente a

Definizione di moltiplicazione per scalare

Dato

definiamo

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Dato ₁λ∈ℝ, OA∈E₀, definiamo

OB = λOA = ⎧

• se λ>0 λOA = OB ha stessa direzione e verso
1. se OA e |OB| = λ|OA|
• se λ=0 λOA = O
• se λ<0 OB stessa direzione, verso opposto
1. |OB| = |λ|·|OA| = -λ|OA|

λOA ha sempre la stessa direzione di OA

• ha verso concorde se λ>0
• verso opposto se λ<0

Altre proprietà.

1. 1·OA = OA
2. 0·OA = O
3. λ·(OA + OB) = λ·OA + λ·OB
4. (λ + μ)·OA = λ·OA + μ·OA