Analisi matematica 1

Martedì 4 ottobre 2022 11:05 - Vettori applicati

NSHMD

Def: Un vettore applicato è un segmento orientato nello spazio.

• Il segmento di estremi A e B è l'intervallo della retta passante per A e B con estremi A e B.
• Segmento orientato: stabiliamo qual è l'estremo iniziale e quello finale.
• Un vettore applicato determina: direzione, verso, modulo.

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Vettori applicati

Def: Un vettore applicato è un segmento orientato nello spazio.

• Il segmento di estremi A e B è l'intervallo della retta passante per A e B con estremi A e B.
• Segmento orientato: stabiliamo qual è l'estremo iniziale e quello finale.
• Un vettore applicato determina: direzione, verso, modulo.
• Due vettori applicati hanno la stessa direzione se le due rette determinate da ciascuno di essi sono parallele o coincidenti.

[Un vettore applicato determina la retta passante per A e B]

v₁ e v₂ hanno lo stesso verso.

v₁ e v₃ (e v₂ e v₃) hanno versi opposti.

• Due vettori con la stessa direzione hanno lo stesso verso se "puntino dalla stessa parte".
• Il modulo di un vettore applicato è la sua lunghezza (distanza tra estremo iniziale ed estremo finale) e un numero > 0.

Il modulo di AB si denota |AB|.

Vettori equivalenti

Def: Due vettori AB e CD si dicono equivalenti se hanno la stessa direzione, stesso verso e stesso modulo.

Osservazioni: (1) AB = CD iff A = C e B = D.

Due vettori applicati coincidono se e solo se coincidono gli estremi iniziali e gli estremi finali:

(2) Se AB e AC sono equipollenti, allora coincidono anche gli estremi finali. Cioè B = C e per (1) AB = AC.

Vettori applicati nell'origine

Fissiamo un punto O (origine) nello spazio.

E³_O = {vettori applicati in O} = {OA vettori applicati}

Regola del parallelogramma

Def: Dati due vettori OA e OB in E³_O (centrati applicati nell'origine), definiamo OA + OB = OC.

(origine) definiamo OA + OB = OC.

Dove O, A, B, C sono vertici di un parallelogramma.

OC è l'estremo finale del vettore applicato in B equivalente a OA e l'estremo finale del vettore applicato in A equivalente a OB.

Disuguaglianza triangolare

Disuguaglianza triangolare

|OC| =0

|x| = { x se x >= 0 -x se x < 0

Proprietà dell'operazione di somma in E³

OA + OB = OB + OA Vale la proprietà commutativa.

(OA + OB) + OC = OA + (OB + OC) Vale la proprietà associativa.

Stesso estremo finale e iniziale.

Consideriamo il vettore nullo OO estremo iniziale = estremo finale = 0.

Non determina direzione né verso. Ha modulo nullo |OO| = 0.

OA + OO = OA ∀ OA ∈ E³

Il vettore nullo è l'elemento neutro per la somma.

• Dato OA, esiste ed è unico OB t.c. OA + OB = OO = 0.

Lo deduciamo con -OA.

OB = -OA ha stessa direzione di OA, stesso modulo di OA, verso opposto al OA.

La somma di vettori applicati in O ammette un inverso.

Differenza di vettori applicati nell'origine

Def: OB - OA := OB + (-OA)

OB - OA è il vettore applicato in O equivalente a AB.

Definizione di moltiplicazione per scalare

OB = 2 OA

OC = (-1/2) OA

Dato k in R, OA in E_o³ definiamo.

Dato _l anche R, OA è E_o definiamo.

λ · ^→OA = ^→OB

Se λ > 0    λ · ^→OA = ^→OB ha stessa direzione e verso di ^→OA e |^→OB| = |λ| · |^→OA|.

Se λ = 0    λ · ^→OA = ^→O

Se λ < 0    ^→OB stessa direzione, verso opposto.

|^→OB| = |λ| · |^→OA| = -λ · |^→OA|

^→OA = (-1) · ^→OA

(-1) · ^→OA = -^→OA

λ · ^→OA ha sempre la stessa direzione di ^→OA.

Ha verso concorde se λ > 0.

Verso opposto se λ < 0.

Altre proprietà

1) 1 · ^→OA = ^→OA

2) 0 · ^→OA = ^→O

3) λ · (^→OA + ^→OB) = λ · ^→OA + λ · ^→OB

4) (λ + μ) · ^→OA = λ · ^→OA + μ · ^→OA