Analisi e geometria 2 - Raccolta di definizioni e teoremi

Vettori: linearmente dipendenti

I vettori v₁, v₂, v₃ si dicono linearmente dipendenti se esistono tre scalari a, b, c non tutti nulli t.c. av₁ + bv₂ + cv₃ = 0.

I vettori v₁, v₂, v₃ si dicono linearmente indipendenti se non sono linearmente dipendenti.

Vettori ortogonali

Due vettori non nulli si dicono ortogonali se l'angolo da essi formato è un angolo retto. Il vettore nullo è per definizione ortogonale a qualsiasi vettore.

Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale di due vettori u e v è il vettore u × v così definito:

1. Se u e v non sono paralleli, il modulo di u × v è uguale all'area del parallelogramma di spigoli u, v: |u × v| = |u||v|sinα, dove α è l'angolo formato tra i due vettori.
2. La direzione di u × v è perpendicolare al piano generato da u e v, quindi u, v, u × v sono a u come a v.
3. Il verso di u × v è tale che la terna di vettori u, v, u × v sia destrorsa.
4. Se e solo se non paralleli il prodotto vettoriale è il vettore nullo.

Prodotto misto

Il prodotto misto di tre vettori u, v, w è lo scalare u · (v × w). Se u = [a, b, c]^T, v = [d, e, f]^T, w = [g, h, l]^T allora u · (v × w) = | a b c | | d e f | | g h l |.

Combinazione lineare

Si dice che un vettore v è una combinazione lineare dei vettori v₁,..., v_d se esistono degli scalari t₁,...t_d tali che v = t₁v₁ + ... + t_dv_d.

Matrice

Una matrice A m×n a elementi in K è una tabella rettangolare di numeri, disposti in m righe e n colonne. a_ij è il numero che si trova sulla i-esima riga e sulla j-esima colonna di A.

Prodotto riga per colonna

Dati un vettore riga a e un vettore colonna v con lo stesso numero di componenti, il loro prodotto è lo scalare così definito: a · v = [a₁, ..., a_n]^T × [v₁, ..., v_n]^T = a₁x₁ + ... + a_nx_n.

Prodotto matrice per vettore

Il prodotto Av di una matrice A m×n per un vettore colonna v = [x₁,...x_n]^T con m componenti è il vettore colonna Ay con m componenti così definito: Ay =