Analisi di Fourier di segnali tempo-continui

Analisi di Fourier (Capitolo 2)

Sviluppo in serie di Fourier

x(t) = x(t + T) funzione periodica

Prima forma esponenziale

x(t) = x(t + T) con x(t)_C

x(t) = ^∞∑_m=-∞ C_m e^jmω₀t con ω₀ = ^2π/_T

C_m = ¹/_T ∫ x(t) e^-jmω₀t dt

lim_N→∞ { x(t) - ^N∑_m=-N C_m e^jmω₀t } = 0

Convergenza puntuale

lim_N→∞∫_t+T^t { x(t) - ^N∑_m=-N C_m e^jmω₀t }² dt = 0

Convergenza media quadratica

Se valgono le condizioni Dirichlet

• ∫_T │ x(t) │ dt ∃ max ^m su T # di discontinuità 1^° specie x(t) su T

Allora la serie converge

^∞∑_m=-∞ C_m e^jmω₀t = ^{x(t-) + x(t+)}/₂

Condizione per conv. media quad

∫_t+T^t │ x(t) │² dt E_x

Considerazioni

• x(t) = ^∫_T/₀
• x(t) = { C_m }_-∞^m
• Se x(t) ∈ R, C_m ∈ C

Analisi di Fourier (Capitolo 2)

Sviluppo in serie di Fourier

x(t) = x(t + T) _{Funz. periodica}

Prima forma esponenziale

x(t) = x(t + T) con x(t) ∈ C

x(t) = Σ_m=-∞^∞ c_m e^jmw₀t

con w₀ = ^2π⁄_T

Sintesi

c_m = ¹⁄_T ∫_T x(t) e^-jmw₀t dt

Num. compl. appart. dell m-esimo fasore

Analisi

lim_N→∞ { x(t) - Σ_m=-N^N c_m e^jmw₀t } = 0

Convergenza puntuale

lim_N→∞ ∫_T { x(t) - Σ_m=-N^N c_m e^jmw₀t }² dt = 0

Convergenza media quadratica

Se valgono le condizioni Dirichlet

• ∫_T |x(t)| dt < ∞
• ||max || x nei ^{k ||sudom T < ∞}
• # Discontinuità 1°-specie x(t) su T < ∞

Allora la serie converge

Σ_m=-∞^∞ c_m e^jmw₀t = ^{{x(t°)-x(t°)}}⁄₂ → Condizione per Conv. media quad

∫_T |x(t)|² dt < ∞ ↑E_x < ∞ → c.m.q.

Considerazioni:

• ∫₀^T ⇓
• c₀ = ¹⁄_T ∫_T x(t) e^-jw₀t dt = ¹⁄_T ∫_T x(t) dt → Valormedio x(t)
• x(t) ∈ R → c_m ∈ C
• Se x(t) ∈ R, c_m ∈ C

Spettro di ampiezza

|c_n| |c_n| |c_n| |c_n|

------------------------------------

w₀ 0 w₀ 2w₀ w

Spettro di fase

------------------------------------

w₀ 0 w₀ 2w₀ w

Formiamo un pettine con righe equispaziate

Sono dette bilater. M = -∞ A +∞

x(t) ∈ R

C_-m = C^*_m

Coniugato

C = a - i b --> c² = a² + b² ; c = 2c^iφ + c^2ciφ

Simmetria hermitiana

C_m = 1/T ∫_T x(t)e^-jω_nt dt

x(t) = ∑^∞_m=-∞ C_m e^jω₀t = C₀ + ∑^∞_m≠0 C_m e^jω₀t = ∑^∞_m=-∞ C_m e^-jω₀t + עקב

C₀ + ∑^∞_m=1 2Re {C_m e^jω₀t}

Seconda forma

A₀ = C₀

A_m = 2|c_m| per M ≥ 1

φ_m = φ_m{c_m} 2c_m = A_m e^{iφ man > 1}

x(t) = A₀ + ∑^∞_m=1 {A_m e^{iφ m e-jω₀t } = A₀ + ∑∞_m=1 A_m cos(νω₀t + φ_m)}

Important!!!

Spettro di ampiezza monolato

A₃ A₂ A₁ 0

-----------------------------------

0 w₃ w₂ w₁ w

Perché può essere negativo

Spettro di fase monolato

-----------------------------------

0 w₃ w₂ w₁ w

Terza forma

a₀ = 2C_m

b_m = -Im {c_2cn}

a_m = Re{c_2cm}

x(t) = a₀ + ∑^∞_m=1 Re{a_m/b_i)cos(mω₀t+ i sinmω₀t } + ∑^∞_m=1 a_m cos mω₃t + ∑^∞_m=1 b_m sin mω₃t

a_m = ²⁄_T ∫_-T⁄2^T⁄2 x(t) cos mèω₀t dt

b_m = ²⁄_T ∫_-T⁄2^T⁄2 x(t) sin mèω₀t dt

se x(t) Pari: a_m = ⁴⁄_T ∫₀^T⁄2...

se x(t) Dispari: a_m = 0...

Esercizio

Tempi

I segnali peri hanno un inizio e una fine

Nei modelli matematici assumo bo: - ∞ a t∞

∫(t)

Af_o?

T f_o = { } A₀ { } A₁ { } { } { }

Non serve ma è unici

ω(t) = ∑m=0,n=0Cmeimω0t

Cm = 1⁄T ∫ x(t) e -imω0t = AT e -imω0T⁄2 + i mω0T −imω0T⁄2 + 1⁄-iω(m0) = AT eimω0T⁄2 -i mω02+ 1⁄ -imω02 = Av⁄T e-imω022 + eimω02 [1⁄imω02][fond. prendere + intgrazione tra -T⁄2 e T⁄2]

C₀

x(t) è costante, e vale A

C_m =

c₀ = ¹⁄_T

c₀

f_α = 0 exxg { C_m } = { } {0 C_m >0}

Formula non generale, vale per {C_m > 0}

A₀ = ¹⁄_m

Fare spettro di ampiezza e of B Pasi

In questo esercizio, usare una fux. auxuliaria per Gallonare a^a

Am (FrequenzeAux/ f_m= ²⁄_1ω^-T2a[ ω f_o = ^π⁄_tω0] (niuea, punto, di, null)

u a¼ = 2T⁄π²⁄△

Campioniano la funzione

- A₀ Non lo possano Campionare

A_m Frequenze spettro di fase

Interpretazione dell'esercizio

Nel piano cartesio

Se incremento A_p nel dominio delle frequenze incremento tutte le righe (componenti)

Se aumento T nel piano cartesio → diminuisce lo spazio tra le righe e aumenta il loro numero nel loro

Se diminuisco A_p nel piano cartesio → aumenta l'ampiezza dei lobi e ci entrano più righe (aumentano i punti di nullo)

Se abbassiamo il piano cartesio (x(t) → x(t)-A) va a modificare solo la costante

Ond quadr. bilanciata

Trasformata di Fourier

Formula di trasformazione

X(w) = ∫_-∞^∞ x(t)e^-jwt dt

x(t) ∈ ℝ periodico

Formula di antitrasformazione

x(t) = 1/2π ∫_-∞^∞ X(w)e^jwt dw

Somma di infiniti fasori

Spettro di ampiezza

|X(w)|

Spettro di fase (di sfaso)

arg{X(w)}

Trasformata di un particolare segnale

Se x(t) ∈ ℝ → X(-w) = {X(w)}^*

Se vale la simmetria hermitiana → x(t) = ∫_-∞^∞ |X(w)|e^jwt dw

Cambio variabile

w → -w

x(t) = 1/2π{∫_-∞^∞ 2Re{|X(w)|e^jwt}} dw == 1/2π{∫_-∞^∞ 2Re{|X(w)|e^{j[wt + ang{X(w)}]}}} dw == ∫₀^∞ |X(w)|1/π cos(wt + ang{X(w)}) dw

Spettro di w ^w

Spettro di fase - φ(w)

D segue

Integrale di Fourier

x(t) = ∫ |V(w)| cos[wt - φ(w)] dw con Y(w) = |X(w)| / π con w ≥ 0 φ(w) = -arg {X(w)} con w ≥ 0 |X(w)| ≠ 0

x(t) somma di tanti sinusoidì

Spettro di ampiezza monolatero

|V(w)| 0 | w | wc

Spettro di fase

φ(w) w |w1 |w2

Banda di un segnale: Intervallo sui semiasse positivo dove V(w) ≠ 0

Si parla di passa-basso quando la banda è uguale a 0 prossimo ad esso quando Bw con wc = w2 - w1 / 2

Esempio x(t)

A | | -T/2 |0 |T/2

X(w); V(w); φ(w)...grafico ?

X(w) = ∫ x(t) e^-jwt dt = ∫ A e^jwt dt = A ( e^-jwt |_-T/2^T/2) = A e^-jwT/2 = A e^{j sin wT/2} / -jw ^ |_j / w | ^{a^T sin wT/2} | _wT/2

In questo caso | X(w) | ∈ R | X(w) | w | π/2 | π | 3π/2

|V(w)| = |X(w)| / π per w ≥ 0

φ(w) = -arg {X(w)} = { 0 | x(w) > 0 π | x(w)

Proprietà

• F{x'_(t)} → jω X_(ω)
• F{x_(t)} → iω_sX_{(ω - ωs)}

dim.

∫_-∞^+∞ x(t) e^-jωt dt = ∫_-∞^+∞ y(t) e^-jωt dt = ∫_-∞^+∞ x(t) . e^-jω(t-t₀) dt = X(ω)e^-jωt₀

• 3) F { x_(t-t0) } = e^-jωt₀X(ω)

dim.

x'_(t)} = d x(t) / dt = d / dt ∫_-∞^+∞ x(t)e^-jωt dt = 1 / 2π ∫_-∞^+∞ (j ω X_(ω))e^jωt dt

• 4) y(t) = ∫_-∞^+∞ x'(t) dt . F { x'_(t)} } = X_(ω) / jω se ∫_-∞^+∞ x(t) dt = 0 ∫_-∞^+∞ x(t)y(t-τ) dt = x_(τ) * y_(t)
• Integrale di Convoluzione

F{z(t)} = X(ω) Y(ω)

dim.

z(t) : = ∫_-∞^+∞ x(τ)y(t-τ) dτ = ∫_-∞^+∞ F (y_(τ)) e^-jω(t-τ) dω dτ = 1 / 2π ∫_{ω ∫-∞^+∞ Y(ω) x(τ)e^-jωt e^jωτ dτ = 1 / 2π ∫-∞^+∞ Y(ω) X(ω) e^-jωt dω}

Esponenziale bilatera

Esponenziale (esponenziale bilatera)

x(t) = A e^-|t|/t_o

x(⍵) = ∫_-∞^+∞ x(|t|)e^-j⍵t dt = ...= A [ ∫_-∞⁰ e^t/t_o e^-j⍵t dt + ∫₀^+∞ e^-t/t_o e^-j⍵t dt ] = ...= -A/t_o ...= A/t_o / 1 + j⍵t_o → asse ⍵ = ...→ asse y = ...

Esponenziale monolatera

Esponenziale (esponenziale monolatera)

x(t) = A e^-t/t_o t ≥ 0

X(⍵) = A t_o / 1 + j⍵t_o

V(⍵), φ(⍵)

V(⍵) = 1/|X(⍵)| π

ω→∞, A t_o / π(1 + ⍵²t_o²)

φ(⍵) = -arg {X(⍵)} = arctan(⍵t_o)