Teorema (unicità del limite)1
f: A ⊆ R → R2 x0 ∈ R punto di accumulazione per A th se limx → x0 f(x)=l ⇒ l è unico.
Considerate una funzione f(x) con x0 punto di accumulazione, se il limite per x → x0 della funzione esiste (finito o infinito), allora il valore del limite è unico.
Dimostrazione
Supponiamo per assurdo, che limx → x0 f(x)=l1 e limx → x0 f(x)=l2.
Siano V1 e V2 intorni di l1 e l2 rispettivamente, tali che V1=(l1 -r, l1 +r) V2=(l2 -r, l2 +r) r ≤ |l2 - l1|/2.
Poiché limx → x0 f(x)=l1.
Allora in corrispondenza di V1 esiste un intorno U1 di x0 | ∀x∈U1 ∧ x≠x0 ⇒ f(x)∈V1.
Poiché limx → x0 f(x)=l2.
Allora in corrispondenza di V2 esiste un intorno U2 di x0 | ∀x∈U2 ∧ x≠x0 ⇒ f(x)∈V2.
Sia Ũ = U1 ∩ U2. Ũ è ancora un intorno di x0.
∀x∈Ũ ∧ x≠x0 {x ∈ U1 ∧ x≠x0} ⇒ f(x) ∈ V1.
{x ∈ U2 ∧ x≠x0} ⇒ f(x) ∈ V2.
Dunque ∀x∈Ũ ∧ x≠x0 ⇒ f(x) ∈ V1 ∩ V2.
Assurdo perché V1 ∩ V2 = ∅.
Teorema unicità del limite
hps:
- f: A ⊆ ℝ → ℝ
- x0 ∈ ℝ punto di accumulazione per A
th: se limx→x0 f(x) = l ⇒ l è unico.
Considerata una funzione f(x) con x0 punto di accumulazione, se il limite per x→x0 della funzione esiste (finito o infinito), allora il valore del limite è unico.
Dimostrazione
Supponiamo per assurdo, che limx→x0 f(x)=l1 e limx→x0 f(x)=l2.
Siano V1 e V2 intorni di l1 e l2 rispettivamente tali che V1 ∩ V2 = ∅.
V1 = (l1 - r, l1 + r) V2 = (l2 - r, l2 + r) r ≤ (|l1 - l2|)/2.
Poiché limx→x0 f(x) = l1.
Allora in corrispondenza di V1 esiste un intorno U1 di x0 | ∀x ∈ U1 ∩ A \ {x0} ⇒ f(x) ∈ V1.
Poiché limx→x0 f(x) = l2.
Allora in corrispondenza di V2 esiste un intorno U2 di x0 | ∀x ∈ U2 ∩ A \ {x0} ⇒ f(x) ∈ V2.
Sia Ū = U1 ∩ U2. Ū è ancora un intorno di x0.
∀x ∈ Ū ∩ A \ {x0} x ∈ U1 ∧ A \ {x0} ⇒ f(x) ∈ V1.
x ∈ U2 ∧ A \ {x0} ⇒ f(x) ∈ V2.
Dunque ∀x ∈ Ū ∩ A \ {x0} ⇒ f(x) ∈ V1 ∩ V2.
Assurdo perché V1 ∩ V2 = ∅.
Teorema (limitatezza locale)
hp:s:
- 1) f: A ⊆ ℝ → ℝ
- 2) x0 ∈ ℝ punto di accumulazione per A
- 3) limx→x0 f(x) = ℓ ∈ ℝ
th: ∃U intorno di x0 e ∃M>0 : |f(x)|≤M ∀x∈U∩A.
Considerate una funzione f(x) con x0 punto di accumulazione, se esiste e è finito il limite per x→x0 della funzione, allora la funzione f(x) è limitata in un intorno di x0.
Dimostrazione
Per dimostrare il teorema ricorriamo alla definizione di limite, e dato l'arbitrarietà della scelta di ε, scegliamo ε=1.
∃ un intorno U di x0 ∀x∈U∩A\{x0} ⇒ |f(x)-ℓ|
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