Analisi 1: il tuo passaporto per la conquista della Matematica

Indice dei contenuti

• Funzioni p.2
• Dominio di funzione p.3
• Gli asintoti p.7
• Massimi e minimi di una funzione p.10
• I logaritmi p.15
• I limiti p.17
• Equivalenze asintotiche p.24
• Limite notevole (senx/x) p.25
• Limite notevole (Numero di Nepero) p.32
• Limite notevole ((a^x-1)/x) p.34
• Limite Notevole (log a(1+x)/x) p.35
• Limite Notevole (((1+x)^b-1)/x) p.36
• Limite Notevole((1-cosx)/x) p.37
• Forme indeterminate p.39
• Altre forme indeterminate p.43
• Infinitesimi p.45
• Le derivate p.47
• Derivate notevoli p.50
• Derivata di una somma/prodotto/rapporto p.51
• Derivata di funzioni composte p.52
• Punti di non derivabilità p.56
• Teorema di Rolle p.62
• Teorema di Lagrange p.64
• I differenziali p.66
• Formula di Taylor p.68
• Studio di funzione esponenziale p.73
• Studio di funzione radice quadrata p.75
• Studio di funzione Arcsen p.77
• Studio di funzione logaritmo p.78
• Studio di funzione arctan p.80
• Studio di funzione con 2 asintoti obliqui p.81
• Funzioni goniometriche p.83
• Circonferenza trigonometrica p.84
• Funzioni iperboliche p.85
• Gli integrali p.88
• Proprietà degli integrali p.89
• Primitive elementari generalizzate p.90
• Integrali definiti p.91
• Metodi di risoluzione degli integrali p.92
• Integrale di funzioni razionali fratte p.97
• Integrale fratto con denominatore non scomponibile p.99
• Criteri di integrabilità p.102
• Le progressioni p.107
• Successioni di numeri reali p.109
• Serie numerica (Geometrica) p.112
• Serie di Mengoli e Serie telescopica p.113
• Serie armonica p.114
• Criterio del confronto (Gauss) p.118
• Criterio del confronto asintotico p.120
• Criterio del rapporto p.122
• Criterio della radice p.124
• Serie a termini alterni p.126
• L'assoluta convergenza p.128
• Equazioni differenziali p.130
• Esercizio integrale improprio p.133
• Problema di Cauchy p.134
• Formula di Eulero p.138
• Formula di Taylor p.142

Definizioni di funzioni

Funzioni: f: X → Y ⊆ R, f(x) = x² + x - 2

Proprietà delle funzioni

Funzione iniettiva: x₁ ≠ x₂ → y₁ ≠ y₂

Funzione suriettiva: ∀ y ∈ Y, ∃ x ∈ X | y = f(x)

Funzione biettiva o biunivoca

Dominio di funzione

∫(x)   ∀x∈ℝ   ]-∞, +∞[

Se nell'espressione non compaiono:

• x o i denominatori;
• x al loro di radici con indice pari;
• logaritmi contenenti x alla base o all'argomento;
• funzioni arcosen o arcocoseno contenenti x;
• esponenziali a base variabile.

Il dominio è ℝ

ex ∫(x) = ^{x3 - 3x2 + 1}X = ℝ = ]-∞, +∞[

∫(x) = ^x2/2 + √5x + ln 3X = ℝ = ]-∞, +∞[

Condizioni sui denominatori

Se al denominatore compare x, bisogna mettere ≠0 e svolgere l'equazione valutando poi la scrittura del dominio

∫(x) = ^A(x)/B(x) = B(x) ≠0

ex ∫(x) = ^x/(x-3)x - 3 ≠0   x ≠ 3X = ]-∞, 3(∪)3, +∞[

∫(x) = ^{x + 1}/(x² - 3x + 2)x² - 3x + 2 ≠0x ≠ 1   x ≠ 2X = ]-∞, 1(∪)1, 2(∪)2, +∞[

Imposte per condizioni di esistenza

Se l’imponte non è definita per A(x) < 0, si impone una condizione per A(x) >= 0 e si risolve la disequazione

f(x) = n√A(x)A(x) >= 0

Esempi

1. f(x) = √1-x   1-x >= 0, x <= 1   X = ]-∞,1]
2. f(x) = √9-x²   9-x² >= 0, -3 <= x <= 3   X = [-3,3]
3. f(x) = √|x-3|+3   |x-3|+3 >= 0   X = ]-∞,+∞[ ⊆ ℝ

Se compare un log senza x o nella base o nell’argomento, si impone un sistema e si mette