Algebra completo

Determinante

Determinante matrice quadrata

m = m

m = 1 ➔ L’elemento stesso

m = 2 ➔ |A| =

➔ (a₁₁a₂₂ - a₂₁a₁₂)

m = 3 ➔ Regola di Sarrus |A| =

Complemento algebrico

Sia matrice A di ordine m - 1. Si elimina un i-esima riga e la j-esima colonna e si calcola il determinante della matrice rimanente (il segno dipende da se i+j è pari (+) o dispari (-))

Regola di Laplace

Il det. di una matrice quadrata è dato dalla somma dei prodotti degli elementi di una riga o colonna per i rispettivi complementi algebrici

Combinazione lineare

Il determinante è 0.

Matrice inversa e determinante

Matrice con det ≠ 0 ➔ “Non singolare”

Teorema

Una matrice A quadrata di ordine m è invertibile ⬌ det A ≠ 0

Data una matrice quadrata si verifica che det ≠ 0, si costruisce la matrice dei compl. algebrici degli elementi di A e si dividono gli elementi della matrice ottenuta per il det(A). Dell’ultima matrice ottenuta si fa la trasposta. Verifica: A ∙ A^-1 = I ➔ Matrice unità

Determinante

Determinante matrice quadrata (m = m)

m = 1 → L'elemento stesso

m = 2 → |A| = a₁₁ a₂₂ − (a₁₂ a₂₁) = a₁₁ a₂₂ − (a₁₂ a₂₁)

m = 3 → Regola di Sarrus |A| = (a₁₁ a₂₂ a₃₃) + (a₁₂ a₂₃ a₃₁) + (a₁₃ a₂₁ a₃₂) − (a₁₃ a₂₂ a₃₁) + (a₁₁ a₂₃ a₃₂) + (a₁₂ a₂₁ a₃₃)

Complemento algebrico

Sia matrice A di ordine m - 1. Si elimina un i-esima riga e la j-esima colonna e si calcola il determinante della matrice rimanente (il segno dipende da se i+j è pari (+) o dispari (−))

Regola di Laplace

Il det. di una matrice quadrata è dato dalla somma dei prodotti degli elementi di una riga o colonna per i rispettivi complementi algebrici

Combinazione lineare

A₃ si può ottenere con A₁ + 2A₂ (secondo i coefficienti 1, 2)

Il determinante è 0.

Matrice inversa e determinante

Matrice con det ≠ 0 → "Non singolare"

Teorema

Una matrice A quadrata di ordine m è invertibile ↔ det A ≠ 0

Data una matrice quadrata si verifica che det ≠ 0, si costruisce la matrice dei compl. algebrici degli elementi di A, si dividono gli elementi della matrice ottenuta per il det A, dell'ultima matrice ottenuta si fa la trasposta. Verifica: A^-1 = I → Matrice unità

Trasposta righe e colonne invertite

det A^-1 = ¹⁄_{det A}, det A^t = det A

Matrice ortogonale e determinante

Matrice ortogonale se A^t = A^-1

Teorema

Se A è una matrice ortogonale il suo det. = ± 1

Dim A^-1 = A^t ⇒ det(A^-1) = det(A^t) ⇒ ¹⁄_det(A) = det(A) ⇒ ¹⁄_det(A) ⇒ (det(A))² = 1 ⇒ det(A) = ± 1

Matrice triangolare

Se gli elementi al sotto o al di sopra della diagonale princ. sono tutti = 0

Es. A₁ =

→ Matrice diagonale superiore

A₂ =

→ Matrice diagonale inferiore

A =

→ Matrice diagonale (elementi ≠ 0 solo sulla diagonale prin.)

Proprietà dei determinanti

• Det(A) = det(A^t)
• Se si scambiano 2 righe e 2 colonne, il det cambia segno.
• Se una riga o una colonna ha tutto 0 → det A = 0
• Se due righe o colonne sono proporzionali det A = 0
• Se una riga o colonna è combinazione lineare delle altre det A = 0
• Se A → kA ⇒ det(kA) = k det(A)
• Se si moltiplicano gli elementi di una riga o una colonna per k ⇒ allora det(kA)
• Det di una matrice triangolare è dato dal prodotto degli elementi della diagonale
• Det (AB) = det (A) det (B) (Teorema di Binet)
• Det (A^-1) = detA

Rango di una matrice

Matrice estratta → è una sottomatrice con elementi comuni alla principale.

Rango → ordine della sottomatrice più grande che si possa estrarre che abbia det(A) ≠ 0

Se la matrice è nulla,