Algebra e geometria lineare - Parte 1

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Algebra lineare e geometria

INSIEMI

Def.

Un insieme e una collezione di oggetti

Ci sono 3 modi per rappresentarli:

1. Per elencazione es. A= {1,2,3} -> non per gli insiemi infiniti
2. Per descrizione es. A= {x in R: x>1}
3. Per Diagrammi di Eulero, sarebbero delle linee chiuse dove si inseriscono gli oggetti contenuti dagli insiemi

NOTAZIONE

N -> numeri naturali (interi >=0)

R -> numeri relativi (interi >=0 e <0)

Q -> numeri razionali (frazioni)

R\Q -> numeri irrazionali

SOTTOINSIEME

Se a e un elemento di A

Def.

Siano A e B due insiemi, si dice che B e contenuto in A (B R x R={(x,y)| x e y in R}

NOTAZIONE

Aⁿ sarebbe AxA n volte

n in N\{0}

Oss.

Il piano cartesiano e una rappresentazione grafica di R²

Il grafico di una funzione reale di variabile reale e un SOTTOINSIEME di R²

FUNZIONE

Def.

A e B sono due insiemi

Un'APPLICAZIONE tra A e B e una legge f: A -> B

che AD OGNI ELEMENTO di A associa UNO e UNO SOLO elemento di B

3

L'insieme di partenza (A) e detto DOMINIO, l'insieme di arrivo (B) e detto codominio.

L'elemento a e A e detto CONTROIMMAGINE, l'elemento f(a) e B e detto IMMAGINE

IMMAGINE

Def.

A e B sono due insiemi

Sia f: A -> B

Si definisce IMMAGINE di f il SOTTOINSIEME di B definito come

Im. F:={f(a) e B| a e A}={b e B| ? a e A: b=f(a)}

SURIETTIVITA

Def.

A e B sono due insiemi

Sia f: A -> B, si dice SURIETTIVA se Im. f = B ? b e B ? a e A: f(a) = b

Esempio

f: R -> R

x |-> x sarebbe y=x e suriettiva

f: R² -> R

(x,y) |-> 0 non suriettiva

f: R² -> R

(x,y) |-> x (1,0) ->1 (1,2) ->1 sarebbe f((x,y))=x

INIETTIVITA

Def.

A e B sono due insiemi

f: A -> B si dice INIETTIVA se ? x₁, x₂ e A con x₁ != x₂ => f(x₁) != f(x₂)

equivalentemente si usa l'antinominale

f(x₁) = f(x₂) => x₁ = x₂

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esempi

f: R² -> R

(x,y) |-> 0 non e INIETTIVA

f: R -> R²

x |-> (x,0) e INIETTIVA

Oss.

Se D > C -> NON PUO ESSERE INIETTIVA

Se D < C -> PUO ESSERE INIETTIVA

Se D < C -> NON PUO ESSERE SURIETTIVA

Se D > C -> PUO ESSERE SURIETTIVA

esempio

f: R² -> R²

(x,y) |-> (x²,y)

(a,b) in R² lo dovrei scrivere come

F((x,y) = (x²,y) = (a,b)

Non e INIETTIVA perche (-1,0) non ha una controimmagine

BIETTIVITA

Def.

A e B sono due insiemi

f: A -> B si dice BIETTIVA se e sia INIETTIVA che SURIETTIVA

es. f: R -> R x |-> x y=x

FUNZIONE COMPOSTA

Def.

A, B, C sono tre insiemi

f: A -> B e g: B -> C

La composizione delle funzioni f e g e la funzione g o f: A -> C tale che V x in A associa g(f(x))

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FUNZIONE INVERSA

Def.

A e B sono insiemi

Una funzione f: A -> B si dice INVERTIBILE se ? g: B -> A tale che g o f = Id_A e f o g = Id_B

In questo caso g si dice INVERSA di f e si indica con f^-1

FUNZIONE IDENTITA'

Def.

Sia A un insieme

La funzione IDENTITA' su A e la funzione Id_A: A -> A x |-> x

Proposizione

f e INVERTIBILE ? e BIETTIVA

OPERAZIONE

Def.

Sia A un insieme

Un' OPERAZIONE n-aria in A e un'applicazione da Aⁿ in A

f: Aⁿ -> A , in particolare un'applicazione binaria e un applicazione da A² in A

STRUTTURA ALGEBRICA

Def.

Una STRUTTURA ALGEBRICA e un insieme NON VUOTO dotato di 1 o piu OPERAZIONI che godono di 1 o piu PROPRIETA'

CAMPO

Def.

Un CAMPO e una struttura algebrica (K, +, *)

Dove