Algebra e geometria lineare - Parte 2

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SPAZI VETTORIALI

Def.

Sia K un campo.

Uno SPAZIO VETTORIALE sul campo K è un insieme V su cui definiamo 2

OPERAZIONI:

1) + VxV->V OPERAZIONE INTERNA

(v,v) |->(v+v)

2) * KxV -> V OPERAZIONE ESTERNA

(λ,v) |-> λv

Tali che:

Proprietà 1 della somma (commutativa)

v + v = v +v ∀ v , v ∈ V

1 2 2 1 1 2

Proprietà 2 della somma (associativa)

(v + v )+v = v +(v +v ) ∀ v ,v ,v ∈ V

1 2 3 1 2 3 1 2 3

Proprietà 3 della somma (elemento neutro)

v +0=0+v = v ∀ v ∈ V

1 1 1 1

Proprietà 4 della somma (elemento opposto)

∀ v ∈ V ∃ w ∈ V: v+w=0

Proprietà 1 della moltiplicazione

(λμ)v= μλv ∀μ, λ ∈ K e ∀ v ∈ V

Proprietà 2 della moltiplicazione

1*v=v*1=v ∀ v ∈ V

Proprietà distributiva 1 della moltiplicazione

(λ+μ)v=λv+μv ∀μ, λ ∈ K e ∀ v ∈ V

Proprietà distributiva 2 della moltiplicazione

λ(v+w)= λv+ λw ∀ λ ∈ K e ∀ v, w ∈ V

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SOTTOSPAZIO VETTORIALE

Def.

Sia V uno SPAZIO VETTORIALE

Sia W un suo SOTTOINSIEME non vuoto

W è SOTTOSPAZIO VETTORIALE di V se:

1) W è CHIUSO rispetto alla SOMMA

∀ w , w ∈ W => w +w ∈ W

1 2 1 2

2) W è CHIUSO rispetto alla MOLTIPLICAZIONE PER SCALARE

∀ λ ∈ K e ∀ w ∈ W => λw ∈ W

Oss.

V spazio vettoriale

W ⊆ V è un sottoinsieme di V

Se 0 ∉ W => W NON è un SOTTOSPAZIO di V

Se 0 ∈ W => PUÒ ESSERE (ma non per forza) un SOTTOSPAZIO di V

Esempio

V=R 2

W={(x,y)| x≥0 e y≥0} (0,0) esiste ma W non è sottospazio vettoriale

W={(x,y)| x+2y+3=0} (0,0) => dall’equazione rimane 3, 3≠0 -> non soddisfa,

quindi W non è un sottospazio vettoriale

Proposizione

Sia W l’INSIEME delle SOLUZIONI di un SISTEMA LINEARE OMOGENEO AX=0

0 è il vettore nullo

Allora W è SOTTOSPAZIO VETTORIALE di R , dove n è il numero di incognite del

n

sistema

Oss.

Se il sistema NON è OMOGENEO, l’insieme delle soluzioni NON è un

SOTTOSPAZIO VETTORIALE

Def. (Combinazione lineare)

Sia V uno SPAZIO VETTORIALE sul campo K

Siano a ,…, a ∈ K e v ,…, v ∈ V

1 n 1 n

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La COMBINAZIONE LINEARE dei v ,…, v con coefficienti a ,…, a è la SOMMA

1 n 1 n

a v +…+ a v -> si ottiene un vettore dello spazio di partenza

1 1 n n

Def. (Span)

Lo SPAN dei vettori v ,…, v ∈ V è l’insieme:

1 k

Span(v ,…, v )={ a v +…+ a v ∈ V| a ∈ K} con 1≤ i ≤ k

1 k 1 1 k k i

Cioè l’insieme di TUTTE le COMBINAZIONI LINEARI dei v per 1≤ i ≤ k

i

Proposizione

Sia v ,…, v ∈ V

1 n

Allora Span(v ,…, v ) è SOTTOSPAZIO VETTORIALE di V

1 n

Proposizione B

Ax=B ammette SOLUZIONI è COMBINAZIONE LINEARE delle colonne di A

Dim.

Siano C ,…, C le colonne di A

1 n

x C +…+x C = b

1 1 n n 

(a ,…, a ) è soluzione a C +…+a C = b

1 n 1 1 n n

Def. (Indipendenza lineare)

I vettori v ,…, v in V si dicono LINEARMENTE INDIPENDENTI

1 n

se a v +…+a v = 0

1 1 n n

implica a =…=a = 0

1 n

Altrimenti si dicono LINEARMENTE DIPENDENTI

Differenze:

Linearmente indipendenti -> si ha il vettore nullo solo con coefficienti =0

Linearmente dipendenti -> si ha il vettore nullo con qualsiasi coefficiente

Oss.

Se tra i v ,…, v c’è il vettore nullo i v ,…, v sono LINEARMENTE DIPENDENTI

1 n 1 n

Supponiamo che v =0

1

a v + a v +…+a v =0

1 1 2 2 n n

a =…=a =0 e a =1956

2 n 1

29

1956*0+0*v +…+0*v =0

2 n

Ottengo il vettore nullo anche con un coefficiente diverso da 0

Per avere l’INDIPENDENZA LINEARE -> TUTTI I COEFFICIENTI DEVONO

ESSERE 0

Oss.

Se un insieme di vettori contieni almeno 2 VETTORI UGUALI allora i vettori dati

sono LINEARMENTE DIPENDENTI

Proposizione 

Il SISTEMA LINEARE OMOGENEO Ax=0 ammette la SOLUZIONE BANALE le

COLONNE di A sono LINEARMENTE INDIPENDENTI

Dim.

Siano C ,…, C le colonne di A

1 n

Una SOLUZIONE sarà (a ,…, a ) ∈ R se a C +…+a C =0

1 n 1 1 n n

Allora la dimostrazione segue dalla definizione di INDIPENDENZA LINEARE

Per verificare se i vettori sono LINEARMENTE INDIPENDENTI, li mettiamo in

una matrice (solo le colonne di una matrice).

Se il SISTEMA LINEARE OMOGENEO associato alla matrice ammette INFINITE

soluzioni (quindi rg della matrice è minore del numero di incognite) le colonne

non sono LINEARMENTE INDIPENDENTI.

Se rg=pivot -> il sistema ammette 1 soluzione ed è (0,0)

Proposizione

Siano v ,…, v e supponiamo che v sia combinazione lineare dei restanti

1 n 1

Allora Span(v ,…, v )= Span(v ,…, v )

1 n 2 n

Def.

Sia V uno SPAZIO VETTORIALE e siano v ,…, v ∈ V

1 n

Diciamo che v ,…, v sono GENERATORI di V se OGNI v ∈ V è combinazione

1 n

lineare dei v ,…, v

1 n

Esempio

V=R v =(1, 0) v =(0, 1) a*(1, 0)+b*(0, 1)=(a, b)

2 1 2

30

Con un solo vettore non posso generare R 2

Oss.

Span { v ,…, v } allora v ,…, v GENERANO V

1 n 1 n

Notazioni

R è l’INSIEME di TUTTI i POLINOMI a coefficienti REALI

[x]

R sarebbero tutti i polinomi di grado fino a k compreso

≤k[x]

se k=0 R (sarebbe {0})è SOTTOSPAZIO VETTORIALE

≤0[x]

R -> non è sottospazio vettoriale per k>0

k[x]

R =R

≥0[x] [x]

R non è sottospazio vettoriale perché non c’è {0}

≥2[x]

Def.

Sia V uno SPAZIO VETTORIALE e siano v ,…, v ∈ V

1 n

Allora i VETTORI v ,…, v sono una BASE di V se:

1 n

1) Sono GENERATORI di V

2) Sono LINEARMENTE INDIPENDENTI

In generale in R , B={(1, 0, …, 0), (0, 1,…,0), …, (0,…, 1)} si chiama BASE

n

CANONICA

Per vedere se un insieme di vettori è una base si testa prima se sono generatori

Esempio

B={(1 0 1), (1 1 0), (1 2 3)}

v=(a, b, c) a, b, c ∈ R

Allora ∀ v ∃ α , α , α ∈ R: v= α v +α v +α v

1 2 3 1 1 2 2 3 3

α (1 0 1)+ α (1 1 0)+ α (1 2 3)= (a b c) deve avere soluzione

1 2 3

quindi si crea il sistema AX=v dove A è la matrice con i vettori di B

A|v -> rg(A)=3 e rg(A|B)=3 } 1 unica soluzione -> B è una base

Le matrici si possono scrivere come VETTORI affiancando le righe

Esempio (a b c, d e f) -> (a b c d e f)

31

Per formare una matrice con più matrici:

le matrici diventate vettori diventano le COLONNE della nuova matrice

Questo si usa per vedere se più matrici sono linearmente indipendenti tra di loro

Oss.

Se v ,…, v sono LINEARMENTE INDIPENDENTI sono una base di Span{ v ,…, v }

1 n 1 n

TEOREMA

Sia B={ v ,…, v } una BASE di uno spazio vettoriale di V

1 n

Allora OGNI v ∈ V si scrive in maniera UNICA come COMBINAZIONE LINEARE

dei vettori di B

Def.

I coefficienti α ,…, α , con cui scriviamo v=α v +…+α v dove { v ,…, v } è una

1 n 1 1 n n 1 n

base, si chiamano COORDINATE di v rispetto alla BASE { v ,…, v }

1 n

Per trovare le coordinate di v rispetto ad una base B di R , avendo v e B.

3

Si scrive v come combinazione lineare dei vettori di B e si risolve il sistema

lineare

NOTAZIONE [v] -> v rispetto alla base B

B

Def.

Sia V uno SPAZIO VETTORIALE

Diciamo che V ha DIMENSIONE FINITA se ammette un SISTEMA FINITO di

GENERATORI

TEOREMA

OGNI spazio vettoriale a DIMENSIONE FINITA ammette una BASE

COME TROVARE UNA BASE sapendo che lo spazio vettoriale ha DIMENSIONE

FINITA:

TEOREMA del COMPLETAMENTO di una BASE

Sia B={ v ,…, v } una BASE di uno spazio vettoriale V

1 n

Siano w ,…, w vettori LINEARMENTE INDIPENDENTI con p<n

1 p

Allora posso aggiungere ai vettori w ,…, w n-p vettori di B così da ottenere

1 p

un’altra base di V

32

Di solito si aggiungono i vettori della base CANONICA

Per completare una base si riduce in a gradini la matrice ottenuta dai vettori che

si hanno più quelli aggiunti, le colonne iniziali dove nella forma a gradini si

hanno i pivot sono LINEARMENTE INDIPENDENTI quindi sono i vettori della

nuova base

COME OTTENERE UNA BASE PER ELIMINAZIONE

Si parte da un SISTEMA di GENERATORI

Sia V=Span{ v ,…, v }

1 n

Basta ESTRARRE dai v ,…, v i vettori che sono LINEARMENTE DIPENDENTI,

1 n

così da far rimanere solo quelli LINEARMENTE