Algebra e geometria - 1-6 Introduzione allo studio di funzione

Spazio vettoriale

Vettori applicati → hanno un punto di applicazione (es. forze).

Vettori liberi → non hanno un punto di applicazione.

Operazioni con i vettori

• Somma (metodo del parallelogramma).
• Prodotto vettoriale.

Campo

Insieme di numeri, numeri es. sono definite le operazioni + e −, e sono definite le seguenti proprietà...

Proprietà

• Proprietà associativa somma (a+b)+c = a+(b+c).
• Proprietà associativa prodotto (a·b)·c = a·(b·c).
• Proprietà commutativa somma a+b = b+a.
• Proprietà commutativa prodotto a·b = b·a.
• Elemento neutro per la somma a+o = a.
• Elemento neutro prodotto a·1 = a.
• Elemento opposto.
• Inverso (reciproco) a·a^-1 = o.

Campo minimo 0, 1, 2.

Campo finito funziona con solo due caratteri, facendo girare il gioco.

4³ f=5.

Spazio vettoriale = campo funziona solo con numeri con un numero finito di elementi.

Spazio vettoriale

Spazio vettoriale (V) insieme non vuoto dotato di un'operazione somma e di una operazione scalare (uno scalare e un vettore) e che rispetti le seguenti proprietà.

Proprietà

• Proprietà associativa somma (u⃗+v⃗)+w⃗ = u⃗+(v⃗+w⃗).
• Proprietà commutativa prodotto (u⃗+v⃗) = (v⃗+u⃗).
• Elemento neutro vettoriale.
• Opposto.

No proprietà commutativa prodotto.

L'inverso (reciproco).

Vettore → oggetto che appartiene ad uno spazio vettoriale.

Combinazione lineare

Combinazione lineare (grado massimo 1).

Spazio vettoriale.

Combinazione lineare → una funzione finita.

Vettori linearmente indipendenti.

Dimostrazione: ogni vettore ha cod non nulle. Tutte le altre che nulle hanno un'unica correlazione lineare che non conosciamo. Es. vettori indipendenti.

In questo caso non posso descrivere tutti i vettori che si trovano in R² con combinazioni lineari di <2,3>, <5,2>, <3,1>.

Spazio vettoriale

Vettori applicati → hanno un punto di applicazione (es. forza).

Vettori liberi → non hanno un punto di applicazione (es. scorri una pagina verso sù).

Operazioni con i vettori

• Somma (metodo del parallelogramma).
• Prodotto scalare.
• Prodotto vettoriale.

Campo

Campo: insieme di numeri reali su cui sono definite le operazioni +, ×, e sono definite le seguenti proprietà.

Proprietà

• Proprietà associativa somma (a + b) + c = a + (b + c).
• Proprietà associativa prodotto (a × b) × c = a × (b × c).
• Proprietà commutativa somma a + b = b + a.
• Proprietà commutativa prodotto a × b = b × a.
• Elemento neutro somma a + 0 = a.
• Elemento neutro prodotto a × 1 = a.
• Opposto a - a = 0.
• Inverso (reciproco) a^-1.

Nel campo vettoriale posso fare solo somme e prodotti.

Proprietà vettoriale

• Proprietà associativa somma u + (v + w) = (u + v) + w.
• Proprietà commutativa somma u + v = v + u.
• Elemento neutro somma v + 0 = v.

Combinazione lineare

Combinazione lineare_{(grado massimo n - 1)}.

a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n = 0.

v_i ∈ V.

Vettori linearmente indipendenti

Vettori linearmente indipendenti: esiste una sola combinazione → utilizzando solo il vettore nullo o di nulli.

Vettori linearmente dipendenti

Vettori linearmente dipendenti: esiste almeno una combinazione diversa da quella nulla.

In questo caso possiedo quindi un legame tra i vettori… coefficiente lineare diverso da zero implica la formazione di un sottospazio… e così via infinite combinazioni.

Esempio 1

Es. 1: v₁, v₂, v₁ = 0.

{ 3x₁ + 5x₂ = 0.

{ -6x₁ + 5x₂ = 0.

{ 7x₁ = 0.

{ x₂ = 0 vett. indipendenti.

Esempio 2

V=R⁴.

v₁=(3, -2).

v₂=(4, 2).

v₃=(4, 3).

{ a₁ * v₁ + a₂ * v₂ + a₃ * v₃ = 0.

3 a₁ + a₃ = 0 -> infinite soluzioni.

Esempio 3

V=R³.

v₁ = (2, 0, 1).

v₂ = (3, 7, 0).

v₃ = (1, 0, 1).

{ a₁ * v₁ + a₂ * v₂ + a₃ * v₃ = 0.

-> uniche soluzioni.

Esempio 4

V=R².

v₁=(2, 1, 0).

v₂=(1, 3, 2).

v₃=(3, 1, -2).

Funzioni come spazio vettoriale

L’insieme delle funzioni è uno spazio vettoriale.

Esempio 1: f(t)=sin x / f(x)=cos x / h(x)=e^x.

Verifica se sono dipendenti - indipendenti come vettori.

a₁sin x + a₂cos x + a₃e^x = 0p.