Equazioni differenziali del primo e del secondo ordine

Equazioni differenziali

Equazioni differenziali Trovare una funzione incognita y(t) avendo delle informazioni sulle derivate y'(t), y''(t), ecc.

Es. y' = f(t)?

y'' - 3y \cdot \cos y' = y \cdot y'' (difficile da risolvere in modo esatto)

Equazioni differenziali del 1° ordine

(Compaiono solo le derivate prime)

y' = F(t, y(t)) → forma normale

Es. trovare una funzione y(t) tale che t y'(t) + y(t) = 0

y'(t) = -\frac{y(t)}{t} (forma normale) (t ≠ 0)

Esempi di equazioni differenziali che si riescono a risolvere in modo esatto:

• Equazioni differenziali a variabili separabili

y'(t) = a(t) \cdot b(y)   (a(t) e b(y) sono delle funzioni)

Si possono risolvere come segue:

\(\frac{y'(t)}{b(y)} = a(t)\)

b(y) ≠ 0

Integro ambo i membri:

\(\int \frac{y'(t)}{b(y)} \, dt = \int a(t) \, dt\)

se possibile calcolo gli integrali e alla fine si ottiene la funzione y(t)

Es. y'(t) \left(2t \cos(t^2)\right) = a(t)

\(y(t) \ne 2\)

\(\frac{y(t)-2}{b(y)} = 2t \cos(t^2)\)

\(\frac{y(t)-2}{y'(t)} \cdot dt = \int 2t \cos(t^2) \, dt\)

Pongo (y(t)-2) = z   allora z = y(t) \cdot dt\)

\(\int (y(t)-2) \cdot y'(t) \, dt = \int z \cdot dz = \frac{z^2}{2}\)

dz + cz + c \, \frac{y(t)}{2}\, \frac{y(t)}{2}\, \cdot y(t) = c_1

\(2t \cos(t^2) \, dt = z\)

Pongo \(t^2 = u\)   du = 2t \, dt

\(\int \cos(u) \, du = \sin(u) \cdot \, c_2\)

\(1/2 \cdot u = \frac{y(t)-2}{y(t)-2}\cos\cdot \sin(t)+c_2\)

equazione di 2° grado in y(t)

\(\ln 2z\)

\(y'(t) = 2y(t)+c_0\)

(t^2\) - 4_y(t) = \cos(t) \cdot \sin(t^2) \cdot (c_1-c_2)=0

costante K

Equazioni differenziali

Equazioni differenziali Trovare una funzione incognita g(t) avendo delle informazioni sulle derivate g'(t), g''(t), etc.

es. y = g(t) ?

(y'' - 3y con y') y. y. "Difficile da risolvere in modo esatto

Equazioni differenziali del 1° ordine

(Compaiono solo le derivate prime) y' = F(t, y(t)) → forma normale

es. trovare una funzione y(t) tale che t.y(t) + y(t) = 0

y'(t) = -y(t) (forma normale) (t ≠ 0)

Esempio di equazioni differenziali che si riescono a risolvere in modo esatto:

• Equazioni differenziali a variabili separabili

y(t) = a(t) · b(y) (a(t) e b(y) sono delle funzioni)

Si possono risolvere come segue:

y'(t)_b(y) = a(t)

b(y) ≠ 0

Integriamo ambo i membri:

∫ y'(t)/b(y(t)) dt = ∫ a(t) dt

se possibile calcolo gli integrali e alla fine si ottiene la funzione y(t)

es. y'(t) = ^{2t cos(t2)}/_{y(t) - 2} = a(t)

y(t) ≠ 2

(y(t) - 2) y'(t) = 2t cos (t²)

∫(y(t) - 2) y'(t) dt = ∫2t cos (t²) dt

pongo y(t) - 2 = z allora y'(t) dt = dz

∫(y(t) - 2) y'(t) dt = ∫ z dz = z²/2 + c

∫(2t cos (t²))dt =

pongo t² = u du = 2t dt

∫cos(u) du = 2sin(u) + c = sin(t²) + c₂

1/2 y(t)² - 2 y(t)² cos t = sin (t²) + c₂

equazione di 2^a grado in y(t)

1/2 z² - 2 y(t) cos (t) + ^{c₁ - c₂ = 0}

(t²) - 4y(t)2 sin(t ²) _{(c2 - c1) = 0}

costante K

y'(t) = 2 + √(4-2 ln(t²-k [soluzione dell'eq. differenziale]

Esempio di eq. differenziale che non è a variabili separabili:

y' = sin (y + t)

Equazioni differenziali di 1^o ordine lineari

Equazioni differenziali di 1^o ordine lineari:

y'(t)+a(t) . y(t) = p(t)

Se p(t) = 0

y'(t) + a(t) . y(t) = 0 → eq. omogenea

Teorema: Le soluzioni dell'equazione differenziale non omogenea (scr. con p(t)≠0) si possono ottenere sommando a una soluzione particolare dell'equazione non omogenea tutte le soluzioni dell'equazione omogenea.

Iniziamo dall'eq. omogenea:

y'(t) + a(t) . y(t) = 0

A(t) = ∫a(t)dt → y'(t) + ?

moltiplico tutto per e^A(t)

e^A(t) y'(t) + e^A(t) a(t) . y(t)_{= 0}

∫ D[e^A(t) y(t)]

Quindi e^A(t) . y(t) = c (costante)

=> y(t) = ^c/_e^A(t) = c . e^-A(t) [soluzioni dell' eq. omogenea]

es. y'(t) cos (t) - sin (t) . y(t) = 0

• ∫ a(t) = ∫ A(t) = ∫ cos (t) - sin (t) . Sole y(t) = c e^sin(t) (f_c)

Condizione iniziale: per t = 0 y(0) = 5

y(t) = ⁵/e^sin(0)

y(0) = c e⁰ = 5 → c = 5e¹

La soluzione è y(t) = 5 e^sin(t)

Come risolvere l'eq. non omogenea

Come risolvere l'eq. non omogenea

y'(t)+a(t)y(t)=f(t)

y(t)=?

y(t)=ce^-A(t)

soluzione dell'eq. omogenea (c è costante)

Immaginiamo che c non sia costante, ma sia c=c(t), funzione di t!

y(t)=c(t)e^-A(t)

c(t)=?

deve essere una soluzione dell'eq. non omogenea

calcolo:

y'(t)=c'(t)e^-A(t)+c(t)e^-A(t)(-A'(t)/a(t))

sostituisco nell'equazione non omogenea:

c'(t)e^-A(t)=c(t)f(t)+a(t)c(t)e^-A(t)=f(t)

moltiplico per e^A(t):

c'(t)=f(t)e^A(t)

integro:

c(t)=∫f(t)e^A(t)dt

A(t)=∫a(t)dt

es.

y'(t)+2/t y(t)=t

t≠0

y(-1)=2 (condizione iniziale)

eq. differenziale del 1° ordine lineare non omogenea

risolvo l'equazione omogenea

y'(t)+2/t y(t)=0

A(t)=∫2/t dt=2 log|t|+C

Sol y(t)=c/t²

soluzioni dell'eq. omogenea

Voglio trovare una soluzione dell'eq. non omogenea:

y'(t)+2/t y(t)=1/t² f(t)

t≠0

metodo della variazione della costante:

y(t)=c(t)/t²

c(t) non è costante

Voglio trovare c(t):

c'(t)=f(t)e^A(t)dt=∫1/t²e^2log|t|dt=1/t

t^-2dt=t

y(t) = c(t) = _t/^t3 - ₁/^t è una soluzione dell' eq. non omogenea

Sommandole i risultati trovati:

y(t) = ₁/^t + _c/^t3

Voglio che y(1) = 2.

₁/¹ + _c/¹³ = 2

c = 3

Sos. y(t) = ₁/^t + ₃/^t2

Verifica: sostituisco la soluzione trovata nell'equazione iniziale.

Equazioni differenziali del 2^o ordine lineari

Equazioni differenziali del 2^o ordine lineari

a(t) y''(t) + b(t) y'(t) + c(t) y(t) = ρ(t)

Se a(t) ≠ 0, divido per a(t)

y''(t) + _b(t)/^a(t) y'(t) + _c(t)/^a(t) y(t) = _ρ(t)/^a(t)

Queste equazioni si possono risolvere se a(t), b(t), c(t) sono costanti

ay''(t) + by'(t) + cy(t) = ρ(t) con a,b,c ∈ ℝ (coefficienti costanti)

Equazione omogenea ρ(t) = 0

ay''(t) + by'(t) + cy(t) = 0

Si considera l'equazione di secondo grado associata:

ax² + bx + c = 0 (x incognita)

1^o caso: Δ > 0 (b² - 4ac > 0)

due soluzioni reali distinte x₁, x₂ x_1,2 = _{-b ± √b² - 4ac}/^2a

In questo caso le soluzioni dell'eq. differenziale sono del tipo:

y(t) = a₁ e^{t x₁} + a₂ e^{t x₂} (∀ a₁, a₂ ∈ ℝ)

(Combinazione lineare delle funzioni e^{t x₁} e e^{t x₂})

Idea alla base di questo risultato:

provo con una funzione del tipo

Si ponga:

Sostituisco nell'eq. differenziale:

2º caso: Δ<0

con

le soluzioni sono del tipo:

3º caso: Δ=0

le soluzioni sono del tipo:

es., risolvere il seguente problema:

• Y''(t) + 2y'(t) + 3y(t) = 0 y(0) = 1 y'(0) = 2

Soluzione:

La soluzione generale:

Bisogna trovare A₁ e A₂ in modo da soddisfare le condizioni iniziali.

γ(t) = (A₁ + A₂) e^{-(cos(√2) + i sin(√2))} + (A₁ - A₂) e ^sin(√2)

γ(0) = 1

(A₁ + A₂) e^{0, cos(0)} + i (A₁ - A₂) e⁰ sin(0) = 1

A₁ + A₂ = 1

γ'(0) = 2

γ'() = - e^{-[A₁ + A₂]) cos(√2) + i (A₁ - A₂) sin(√2)]}

γ'() = e^-cos(√2) [(A₁ + A₂) i sin(√2)] + e ^sin(√2) √2 + i (A₁ - A₂) cos(√2) √2

= [-1 + i (A₁ - A₂) 0] + [0 + i (A₁ - A₂) √2]^]

= [-1 + i i√2 (A₁ - A₂)] = 2

i (A₁ - A₂) √2 = 3

i (A₁ - A₂) = 3√2

A₁ + A₂ = 1

A₁ + A₂ = 3 i √2

2A₂ = 1 + 3i√2

A₂ = 2 + 3i√2 / 4

A₁ = 1 - 2 + 3i√2 / 4

Equazione non omogenea

Equazione non omogenea:

Aγ''(t) + bγ'(t) + cγ(t) = ρ(t)

Metodo delle variazione delle costanti:

Partendo la soluzione dell'equazione differenziale omogenea:

γ₁(t) = a₁ e^{λ₁ t}, γ₂(t) = a₂ e^{λ₂ t} (a_i ∈ ℝ)

Suppongo che a₁ e a_i non siano costanti:

γ₁(t) = a₁ (t) e^{λ₁ t}, γ₂(t), a₂(t)e^{λ₂ t}

Calcolo γ₁'(t), γ₂'(t) e sostituisco nell'equazione differenziale

Infine dovrei trovare a₁(t) e a₂(t)

Metodo della somiglianza

Metodo della somiglianza

Idea: è possibile che la soluzione "assomiglia" alla funzione ρ(t)

Vedere casi:

1) Se, ρ(t) è un polinomio di grado r₁

Allora una soluzione dell'equazione differenziale è di questo tipo.

γ(t) = q(t)

q(t) polinomio di grado r₁ solo se c ≠ 0

Se invece _c=0 e _b=0 ma _f≠0, allora _y(_t)=(_t)

Se _c=0 _b≠0 _f=0 allora _y(_t)=²(_t)

2) Se _f(_t) è del tipo _f(_t)=_Ae^_t, allora la soluzione è del tipo:

_y(_t)=_g(_t)e^_t (dove _g(_t) deve essere determinata)

(∈ℝ, _f≠0), ≥0)

es., _y''(_t)-²_y(_t)=^-12 + _t² (equazione non omogenea)

Risolvo eq omogenea:

_y''(_t)-²_y(_t)=0

_x²-²=0

_1,2= ±_y(_t)=_a1 e^_t+_a2 e^-_t (soluzioni eq omogenee)

Cerco soluzione dell’equazione non omogenea:

_y''(_t)-_y(_t)= ^-12 + _t² C() polinomio di grado 2

Quindi _yk(_t) sarà un polinomio di grado 2:

_y(_t) = ²++(, , )

Si trova:

_y(_t)=2+

_y(_t)=2

Sostituisco nell' eq. differenziale

2-²(²++)=^-12+²_t

2_d+²-²+²+2=^-12+²

{-²2_d=0

{-²=0

{-²+=^-12=^{-2_d-₌-22=1}

Si ottiene:

_y(_t)=^12-2_-12-a+^-2. soluzione dell'equazione non omogenea

Soluzioni:

_y(_t)=^-12 +^2-2 +_-1+_a1e^_t+_a2e^-_t

Esempio con esponenziale

es. y'' = 5y' + 6y - 2e^x

Considero l'omogenea associata:

y'' = 5y' + 6y

x₁=5

x=5

x=0 x x 5±√25-16=- x

x₂=5

x=6=0 x 2 4

y₁=e^x y₂=e^2x Le soluzioni dell' equazione omogenea sono del tipo:

y_c (x) = C₁ e^x + C₂ e^2x

Cerco soluzione della eq. non omogenea

y'' - 5y' - 6y = -2e^x

y_p(x) = g(x) e^x è di una soluzione particolare

y_p' (x) = g'(x)e^x + g(x)e^x

y_p'' (x) = g''(x)e^x + 2g'(x)e^x + g(x)e^x

Sostituisco nell'equazione differenziale [g''(x)e^x + 2g'(x)e^x + g(x)e^x] - 5 {g'(x)e^x + g(x)e^x} - 6{g(x)e^x} = -2e^x

g₁(x) = forma del tipo

x^-1[a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ...]

Si assume g(x) = (a₀ + a₁x) x + a₂ x²x³

Sostituendo di g con g\prime

2a₂ x² + g(x)e^x - 2x²x    determine zero

2g₂ a₂x² + x + 3(a(x^-1)3x² + -1 I termini: il corolla x delemma elmere = 0

Quindi:

2u₂=1

Rimane: - 3a₂ x = 2^a₂ =- 2/3 ∀ °∀∅≤π… 2e^6aaeu

St⟩iene g(x)⟋6

La soluzione particolare cercato ∞…Y ⟨x)>edo∠^6la e^g_a3x√6

Alla fine si ottiene,y₂y(x)^x e^2ind + C₂ e^**22cad^{x; +C_4exxpr (y₀T_{xx00 T(xo)}} es, y'' = 5y' = 6y = (x x -1)e^x

Si trova: y(x) ◁λ _{e ^{e x}}