Equazioni differenziali

Lezione 101121in51: equazioni differenziali ordinarie

lezione 101121in51 'Equazioni differenziali ordinarie go.d.esl' funzionesono in (cui che)èincognita solitonumeroequazioni indicheremouna non un dichecon XLE dominio che) in tutto unapunti del deve soddisfare relazionei suofunzionecoinvolga le derivate della .fat ):#Esempi ' (adattaf f.× con) funzione continua= unaChiamata F alloraF FCEI CEIR) conprimiera di xct =unafamiglia CHIè di soluzioniparametroa un diuna ' FIA¥) ( ft) c) c'++= = =il è ERcparametro• XCEI FCEI #Hè soluzione di= teXCEI #soluzioneG èFCA di= -) Inoltre #Fctlettere )XCEIle* soluzsoluzioni sono cite sono= non(e)' f- →(E) '+ fdi checerco premiere diX= siauna< → CEAXLES fcttc=)ft2 l' ()(E) le degg coordina):esempio *+ delordinariaeqo=(f) èpermoltiplicocheosserva se la è xlteoe + ')etxltt l'('( Ex) xct- lei OLA 0 ==e=CILE ER) C= e② e- CEIRXe) con# -= = )(famigliaabbiamo GRparametro di soluzionitraendo ununa aCtxlt eticaCf s' fai) Cfa) Co= = ==Abbiamo lei CE)' oe+ + - (F)te- di(E) èC- soluzione× = cetacei)'e) cèe((Verifichiamolo -lei' +xlt) ce+ + = -- ==:" 'leiesempio 3 (f): Etc=3 →+ +les )verifico t'che *(risolvese + c.= 'LEI" (2t c)+ + 2= ='(E) E tcetcz+ tg= ' 'E ERG) E conce+ CE ++= ( ''Che )' )" c)((A) etc( E 2Electa)xce risolve + =ucy.co ci ++ ceche =-cifatta(E) ci ' )EIR (famiglia+ ERèson Gsoluzionidiparametri c= c =una a ,,

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine

Equazioni differenziali ordinarie ordineprimodel )leSono forma ' fct lei(E)normaleonde comeche +si ×scrivonoin = ,✓ E di Xdominio datafunzionenel fcon,( ))eflt'In breve X ×scriveremo ,→ la derivate altoprima lederivata piùdiappare ordinepremio ordine ma non, .Problema inizialidati problema I°O Cauchydiai per d. cordonedelE0 .lt{ ' ) )fct ×× = ,)( to× Xo= dontf funzione toalata ato sonoè una ,Teorema [ euniatàEsistenza ]soluzionidi: )CpcperSono ( ifsiaf conopportune questarispettof derivabiledella Xcontinuoipotesi ea ,)continuadentata Ctesiste ed soluzioneuna problemasola Una sola+ CPC ed)del unaossiauna ,) )lt) fct soddisfa xltoche'xct)soluzione Altidi anche+ = •fetale)tilt formano funzionefamigliadiOsservazione )le soluzioni chediuna: =parametrodipende da un{ k)t'esempio LA+ -+ =: coi+ =L (E)'e(f) cena tilt)- +soluzione di+ ècon =pce=Voglio (a) =L)xlt soddisfiora che +XCOF- ) =L0 , ←e-è ' Xchexlo) è1 C 1C- problemasoluzionece ⇐ del==== da )(Cauchy pcLEI{ ' cose)esempio ×: = croci(E) ¥+ -=( ) CEIRfca LEI Ffttc'cost X× x ===(E) costei→ famiglia parametro KISent sono '+ soluzioniuna a= + di +di -(f)(E)fa VItoin+ = xc=- -7ft -3ftVI % EIIcaa+ = =-= --la Cauchydel shiftèproblema ) 3nFChesoluzione di + -ÈsitaAlta nullaIl teorema dice neldel Cpc caso)unicitàdi cie: noncondanniimposte 2vengonoti' fetale){ sedelle+ la voltemaggior pare→=Cto)× to soluzione= esisteràle)+E' LEI{ LEIface'costei cose)+= =(E) )of ¥+ - -= =0 Co) →e)xco e + = Sto Suite)xche 3¥- 4Sint size IIxlt -3ps)) - 3 7,4disco= ==-- = .XCCD -392cd• -3oz -3ftsui= = r=4-311 -313esistono soluzioni (E)la xcts→• soluzione= è sinnon = 5

Equazioni a variabili separabili

Equazioni variabili separabilia " "Definizione separabiliUna del delladice variabiliprimo ordine èsi ao.de: segcxCHD.huLEIforma ' =×( xt-gch.GG)breveIn funzioniehcon dateg lttfct' )Ricordo del xctgenerale tipoda +code èche ordineprimoin una .,fcexctd-gqcth.LA)Nel nostro caso÷ avariateSono- d- separabili0 E. . E3le) €3' glx)2ft Alla× ). =LEI Cetet è' ) leniscega) haiCh+ sin= = =,ma canone#Che è'È '' èChe+ 9poiché e gee =⇐ -controcampi avariate separabiliNon sono d. Ea.LEI' xlt+ E) +=Lt' )+ etàsushi +=Proposizione )consideriamo httgatti )' lei: × .= Ffg# inventabilisupponiamo chiamiamo G Gdiprimitiva e che siasupponiamoo una, LEIh 'tl soluzioniAllora ( Chi liceichiamiamo ledi di sonog.primitiva =+una + -., funzioni ' )( ERliete C.G- condellalesole LEIforma tlltsxce + ="Cina inversol'famiglia parametro) G oeigèdoveal .Drinostrazioeie :- haiGCXCÉD(f)' ' dividere+ gelo possochevisto per= g,CES' )9h+ =jecerco primitivauna face{ x de at=gatti) ÉTATMi variabile (f)effettuo cambioilconcentro di ×: +su =gcxlti) lei' DX+ ={ 'gita =)chat 1-+ da9h =/Riscrivo tetti) G( G)hctsatJoe CEIR* cdxcome c con+=, c)'' ( HttGAD G- cena' con(G-applico )G +=c)' tutti(g- con cera× = D'G- teletta)(CEI =+-{ "Metodo "rapido → eserciziper gliLEI gcxs.li LEI'+ = gh.ae/gfjdx=/hlhlei data' deÈ+ = =tetta ('Gcx) G- tele c))+= c + +=Esercizio " "{Risolvere NEI e- E=( )+ oo ='' EèX = . ¥ etdiDobbiamo tditrovare premutauna e =) t at et| c.condi +È c== Z → XCO)trovo la che xcoseodi oc =pensate averemi 'xcòs tiIR• Ehe €E =C +-0e e Noi oac -= = -_ ⇐ •2z Cei LIex C+=)([ »× log 'scrivo te× == e+•.. e. . =lo O XC=SINA.zio.nico-ic.ae' l'{ )esempio gcxle htt) )+1 : = .- alto) xo=)ylxoCaso ?{ )EX x2hai' (E)glace-2T× -2= = =.(2) )) gettogcxo0× o-= =(2) =D×( crisi 2=0< •= funzione soluzioneCHElacaso )CPClaIn × delcostante è×questo , ?Nel -2ft@(E) { 'c)soluzione dellaEonostro èesempio × a+ xche oVerifichiamolo allora (2)CEIse × O-+ === ,#' 0=0-25+2=0LEI ×allorase E 0+ a} httgcxcelei' ))+ -=ed(× Xo= () gcxcto) EHo )costantementey -=e =In del Cauchy èproblema LEIsoluzionequesto Ecaso la Xodi +Verifichiamolo) xltoXCE )XO Xo= = ttt' E)LEI ++ xo= o= glxo hai)) GLEICxlt 0g. e--- =← aµ di ipotesigiudeoXCEIXCEIEXO → verificata0=0-Cadiamo IIIfine -à ,COI 3× = f- (è a))1- definita il ovisto ègas 90 -1dominio= non usuo ,ZX↳ fasce x2di de sin o)× += =arte Sinai += c ( (d) 2 32)Co 9F- (a)=3 c+O sia ⇐a+= -+ =X2 Sciolte 9= 4th GasGea x2sinetech 9⇐to == =FÈGH A Xrinvenibile ±ènon == tgtg +× = -= !(SÌ dsoluzioniabbiamo esistenzaComiooedceooce eunictà )che taeoo stiamo il teorema2 X =3del PCsoluzioneessereperma tastoLa NEIsoluzione è ={ le' )3esempio + se-- »single-HAI -=} ESat cosa ER)de) Csink DX c+- ==CXLEDcos Etc= )costeCA ) I+1- 1 etcetc o= -= -COSA te -1= Cosa DIo*( [) )qouccosco -1: , ,)-19¥ )]← Cx) 9T[FI →arco i> : ,/ »co→ cosaÈf. } ..C- arco ×>= €71 ) (1)LEItentando Esoddisfare +ale.ee(areas:X = -=- aOrosco(1) ) aIIa+ =la soluzione ( etE-xche arcosè -ninfette Co)XEI) itzarco> =-= -

Lezione 52: equazioni differenziali lineari del primo ordine

11/12/2020lezione 52 Equazioni differenziali lineari 1°del ordineDefinizione Una lineare è delsedicesi tipo: primoode del coraminaLt)' bittale )) LEI+ =+funzionicon b datea ,La blacoefficiente )funzione terminefunzioneAct) vienedetta laviene notodettaeSe èl'→bla) chediremoallora equazione omogeneao- . .-In fft ))Code It' xfetèl' )tipogenerale ordine neldel caso+delequazioneuna = ,bit)( -9ft)tdelle f. +setti ) )lineari ceeguaz +=,E)breve beiIn ' ALEIXforma x+scriveremo = -'X BG)A)esempi Gtx+ GEo• =- @ o-' blaalta )svistaZX Sisde-2+• × -⇐ lineariContursi NON sono delo.DE ordineprimo: ' +2×2=0ו El' (tacos )• × =xteorema Le Lt )' ) ) bit)Xlttale asoledell' tantesoluzioni equazione sono: + =aChe c)+ [ Bla:funzioni e- egonna )della *le -ERcon C 7/diAlti altiè una primitiva "ca bit )Bit) <è primitiva diuna -" " '"f[ c)LEI - beat *e+ +e=-ConsideriamoDisincastrare Altibitla xlt) ))' ) altalt )Act+ di+ moltiplichiamo per e promanacon=ale' aacheaxllt) e) bla)=@ @+÷') '( "èlei+ État»ac )HAI ".ca( )".cat ' bit)lei Bltxc Bettina primitivacon+ e == -"" [ xDe- Behche+ )÷T Risolvere ' (E)( +2×47=3 BCE' =3 ): alt) =3tzx + -2+- A'It) )→ Lt tA' =L )'sè 'sè" ècan eeexr ('è →+e→ ×# ==.- 'èla behCerco BCE) =3pennuta di3efdt-fz.ae#dt=3z)2eTde--?eF-c{ ?" cèxè CER§+to=z + con=e "[ È'èè " ' SEIbehActs→-2 →alti a e→ - Ipa]szèetc«' XBeh [ =Le- ERcon ce=3 +c=e ( E)LEI2h '(E)' bla¥± ElLEI alt)++ + ¥- =-= -- e la 'cos'e case-→alt Cogne±alt) ) e= ,@= == -- = tie"è [Blt tace) CEIREtc)2h E eA))bla ¥ E= = =+- .-- Gli{ ' tztxesempi × =(a) =L+ aAltibltLEIat ActGt3Risolviamo EA' )) e' →ztx+ =L e=ו = =-"a ztèdt' fatebe è f ÈGt3 → de@ = = _-8eÉcole È2 IIIC- zèxc" 2) ztèac ae'-2¥ ate¥ - _- ==- F )Ale" Ita -Blt1) ae' -[ L]t ]) BitNEI2 )c e ee + c= e-=- - ="È 1)zècfr 1)alta cè[ ahc)(f) +→++ -= -=Devo (a) E-CER E. C 2trovare X oe-- -eo( ) + c-< io« - TICE -14)2 4 alt )c ee-+ -12= - -

Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine

Equazioni ordinarie del secondo ordine differenzialiSono formaquelle che nellasi scrivono )Lt lti" ) 'f (E la funzione data¥con#=+ #Problema Cauchy inizialidatiproblemadi ai•,{ )Ih lei" 'LAf sx+ +=④c) )( XO+ o =× ][ unicità (EsistenzaTlorera Pdsoluzionidi pera ))L' Lt (t'fct(E)" F)Lt) opportune adammetteequazione + ipotesisono una+ unasu= ,, ')(inizialiSola (a)soddisfa leche condizionianchecondizione Xao+ > =oOsservazioneIe soluzioni famiglialei ) formanolei