Equazioni alle derivate parziali, integrali doppi e tripli, serie di Fourier

Formule utili

sen²θ = 1/2 - 1/2 cos2θ

cos²θ = 1/2 + 1/2 cos2θ

senθcosθ = 1/2 sen2θ

sen3θ = 3senθ - 4sen³θ

cos3θ = 4cos³θ - 3cosθ

cos3θ = cos²θ - 3cosθ + 4cos³θ

sen4θ = 2cos²θ - 1

cos³θ = 1 - 3sen²θ

senθsenθ/2 = 1/2cosθ - 1/4cos²θ

senθ = 1 - 2sen²θ

cos²θsenθ = 3/8cosθ - 1/4senθ + 1/8sen³θ

senθ = 1 - sen²θ + sen³θ

cosθ = e^x + e^-x / 2

senθ = e^x - e^-x / 2

cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sen(α)sen(β)

cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sen(α)sen(β)

sen(α - β) = sen(α)cos(β) - cos(α)sen(β)

sen(α + β) = sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β)

sen(α) + sen(β) = 2 sen((α + β) / 2) cos((α - β) / 2)

sen(α) - sen(β) = 2 cos((α + β) / 2) sen((α - β) / 2)

cos(α) + cos(β) = 2 cos((α + β) / 2) cos((α - β) / 2)

cos(α) - cos(β) = -2 sen((α + β) / 2) sen((α - β) / 2)

Circumferenza

Circumferenza: (x - x_c)² + (y - y_c)² = r²

Parabola

Parabola y = ax² + bx + c

Δ = b² - 4ac

V = (-b / 2a, -Δ / 4a)

se la parabola è orizzontale a invertire

Formule utili

sen²θ = 1/2 - 1/2 cos 2θ

cos²θ = 1/2 + 1/2 cos 2θ

senθ cosθ = 1/2 sen 2θ

sen³θ = 3 senθ - 4 sen³θ

cos³θ = 3 cosθ - 4 cos³θ

cos 3θ = 4 cos³θ - 3 cosθ

sen 3θ = 3 senθ - 4 sen³θ

sen 2θ = 2 senθ cosθ

cos 2θ = cos²θ - sen²θ

tan 2θ = 2 tanθ / (1 - tan²θ)

cosθ senθ/2 = 1/2 cosθ - 1/2 cos 3θ

cosθ senθ/2 = 1/2 senθ - 1/2 sen 3θ

cosθ senθ = 1/4 cosθ - 1/4 cos 3θ

cos²θ sen²θ = 1/8 cosθ + 1/8 senθ

cos x = e^x + e^-x / 2

senh x = e^x - e^-x / 2

cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sen(α)sen(β)

cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sen(α)sen(β)

sen(α - β) = sen(α)cos(β) - cos(α)sen(β)

sen(α + β) = sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β)

sen(x) + sen(y) = 2 sen(x+y/2)cos(x-y/2)

sen(x) - sen(y) = 2 cos(x+y/2)sen(x-y/2)

cos(x) + cos(y) = 2 cos(x+y/2)cos(x-y/2)

cos(x) - cos(y) = -2 sen(x+y/2)sen(x-y/2)

Circonferenza: (x-x_c)² + (y-y_c)² = r²

Parabola: y = ax² + bx + c

Δ = b² - 4ac

V = (-b/2a, -Δ/4a)

se la parabola è orizzontale è invertita

Equazioni derivate parziali

1) Equazione con u_x e u_t

u_x(x,t) + a u_t(x,t) + b u(x,t) = ∅[c(x,t)] u(x,0) = g∅(x)

Tracce delle caratteristiche x = x₀ + at

Uso la formula risolutiva

u(x,t) = e^-bs/a ∫ e^bt/a ∅(x₀(s-1), s) ds ∅ g(x+at)

2) Equazione con coefficienti a(x,t) e b(x,t)

u_t + a(x,t)u_x + b(x,t)u = ∅(x, t) u(x,0) = g∅(x)

Cerco le caratteristiche x'(t) = a[∅(x,t)] ∅ integrale EDP con x' = dx/dt x(t₀) = x₀

Traccio x = ∅(x₀,s) il rilasso x₀ per trovare ∅(x,t)

x₀=x₀

Determino (u_o,t) risultante

u(x,t) = ∅(x₀,t) = 1(x₀,t)u(x₀,0) ∅ g(x₀)

Trovo la soluzione u(x,t) = U[∅(x,t),t]

3) Equazione con u + q

(u + q) (u_t) = 0 u(x,0) = g∅(x)

Caratteristiche x = x₀ + q'[g(x₀)]t

Espressione implicita per il u u = g[x - q(u(x))t]

Esplicito u

Caratteristica che parte da x₀ u(x,t) = ∅ g(x₀)

O non esiste o non è unica Onda a manipolazione o ai sener

4) Problema di Dirichlet

u_tt + 9 u_xx + xu_x = 0

u_x(x,0) = g(x)

g(x) = x x < 0 0 x > 0

x - 0 ← Problema di Dirichlet

9 Crescente

u_t > u_tt xu_x > u_t - 9 u_ttx

9 Decrescente

u_x < x + 9u_t x < u_x

9 Decrescente

u_x > u_tx x < u_x

y = \(\dfrac{9(u_x) - 9(u_t)}{u_t - x}\)

5) Formula di Dichiaro

u_tt - c² - u_xx = 0

u_x(x,0) = -g(x)

u_x(x,0) = -h(x)

← problema di Dirichlet le condizioni a due cisse crescente

Uso la formula di Dichiaro u(x,t) = \(\dfrac{1}{2}\) [g(x-c t)+g(x-ct)] + \(\dfrac{1}{2c}\)\(\int_{x-ct}^{x+ct}h(y)dy\)

Se al posto di R(x,t) ho 1(CQ) basta considerare che

n = s ⇒ ∫ G = η derivo a modo

En di η è se livuto di dn(x) = \(\begin{cases} n & \t