Energia cinetica e meccanica: regole e spiegazione

In questo appunto di Fisica si trattano due grandezze fondamentali per la Meccanica che sono l’energia cinetica, l'energia potenziale e l’energia meccanica.

Il concetto di energia

In fisica col termine energia si indica la capacità di un qualsiasi ente di compiere lavoro.
L’energia può presentarsi sotto diverse forme che, come vedremo, sono convertibili l’una nell’altra.
Ad esempio l’energia chimica che si ottiene dalla combustione di nafta era usata nelle centrali termoelettriche per produrre vapore che ziona le turbine (quindi si trasforma in energia meccanica).
L’energia meccanica delle turbine, a sua volta, veniva convertita per mezzo di alternatori in energia elettrica e quest’ultima, una volta giunta nelle nostre abitazioni e luoghi di uso comune o nelle industrie, viene convertita di nuovo in altre forme (energia luminosa, termica, meccanica, ecc.).
Quindi un corpo possiede energia quando è in grado di compiere lavoro e la misura di tale lavoro è anche la misura di tale energia.
In questo breve trattato ci limiteremo ad affrontare l’energia cinetica e l’energia meccanica che comprende anche l’energia potenziale.

Energia potenziale

L’energia potenziale posseduta da un corpo è dovuta a particolari forze, definite come forze conservative.
Tale forma di energia quantifica la potenzialità di un corpo di compiere lavoro in particolari condizioni.
Le forze di cui analizzeremo l’energia potenziale sono:

• forza peso;
• forza elastica;
• forza di attrazione gravitazionale.

Un corpo che si trova ad una certa altezza è in grado di compiere lavoro a mezzo del suo peso durante la caduta, grazie alla sua energia potenziale dovuta al peso: un corpo ad una data altezza possiede una certa energia potenziale che può essere misurata tramite il lavoro compiuto dalla forza peso. Nel momento in cui, a fine caduta, il corpo raggiunge la superficie terrestre, ha perduto la capacità di compiere lavoro e la sua energia potenziale è nulla. Ragioniamo in modo del tutto analogo se dobbiamo sollevare un corpo di massa m: si deve applicare una forza pari al peso e compiere un lavoro che da quota nulla lo sollevi ad una data altezza, h: l’energia potenziale del corpo a tale altezza è pari a lavoro che si deve compiere per sollevarlo di tale altezza partendo dallo stato iniziale (quota zero) in cui l’energia potenziale è per convenzione nulla.
In base a tali considerazioni se ne conclude che l’energia potenziale della forza peso, può essere quantificata come segue:

dove

rappresenta l’energia potenziale del corpo di massa m dovuta alla forza peso
è la massa del corpo
è l’accelerazione di gravità

è la quota cui si trova il corpo.
L’energia potenziale di una molla ideale deformata (allungata o compressa) dipende dalla deformazione subita e dalla rigidezza della molla stessa: un molla compressa compie lavoro espandendosi per mezzo della forza elastica; analogamente se la molla è dilatata, compie lavoro per tornare nella configurazione di riposo (ossia con deformazione nulla). La misura del lavoro che tale molla compie per tornare nella configurazione indeformata rappresenta l’energia potenziale elastica della molla, esprimibile tramite la seguente formula:

dove

è l’energia potenziale elastica di una molla ideale
è la rigidezza della molla o costante elastica (N/m)
è la deformazione subita dalla molla (dilatazione o contrazione).
In modo del tutto analogo si definisce l’energia potenziale dovuta alla forza di attrazione gravitazionale.
Consideriamo due masse, ed , sufficientemente lontane da qualsiasi altra massa in modo da poter trascurare le interazioni con altri corpi.
La forza di attrazione gravitazionale agente fra queste due masse è data da

dove

ed son le masse oggetto di studio

d è la distanza cui sono poste le masse
Il lavoro da compiere per spostare tali masse per avvicinarle o allontanarle, e quindi l’energia potenziale generata da tale forza, è dato da:

Come si può vedere da tale espressione, l’energia potenziale della forza di attrazione gravitazionale dipende dalle masse interagenti,

ed , dalla costante G e dalla distanza fra le masse, d: in particolare diremo che tale quantità è direttamente proporzionale alle masse interagenti (aumenta con queste) ed inversamente proporzionale alla loro distanza (diminuisce se aumenta la distanza fra ed ).

Energia Cinetica

Un qualsiasi corpo in movimento, quindi dotato di velocità, è in grado di compiere lavoro.
Diremo che un corpo di massa, m e velocità, v, possiede energia cinetica e tale energia viene misurata come il lavoro compiuto a tale corpo nel momento in cui si arresta. Allo stesso modo diremo che il lavoro che è necessario compiere per mettere in moto il corpo di massa m e portarlo fino alla velocità v, è equivalente all’energia cinetica di quel corpo.
Per arrivare a quantificare tale forma di energia consideriamo un semplice esempio.
Supponiamo di voler conficcare un chiodo in una qualunque superficie tramite l’uso di un martello.
Il martello di massa m parte da fermo ed arriva a velocità v ad urtare il chiodo. Quando batte sul chiodo esercita una forza F (supposta costante per semplicità) che produce uno spostamento del chiodo (che si conficca nel materiale) e quindi produce un lavoro L (che è l’energia cinetica del martello).
Per il Terzo Principio della Dinamica il chiodo reagisce con una forza uguale ed opposta ed arresta il moto del martello: il moto del martello, nel tratto in cui è a contatto col chiodo, risulta uniformemente ritardato.
Sia s lo spazio percorso dal martello e dal chiodo ed a l’accelerazione subita:

dove

è la velocità con cui il martello impatta il chiodo
è il tempo di contatto
è la velocità finale che ovviamente sarà nulla
quindi

da cui si ricava

che è l’intervallo di tempo durante il quale ha luogo lo spostamento s del chiodo.

da cui si ottiene il valore dello spazio percorso, s, avendo sostituito

Sapendo che i lavoro compiuto da F si trova con la seguente espressione:

Per il Secondo Principio della Dinamica

Si ottiene che

Da questo esempio se ne conclude che:
l’energia cinetica del martello di massa m ed avente velocità v, definita come il lavoro che il martello compie quando viene arrestato, vale:

E’ facile dimostrare anche il procedimento inverso, ossia portare dalla quiete a velocità v un corpo di massa m. A tal fine si deve compiere un lavoro L uguale all’energia cinetica finale posseduta dal corpo:

da cui

che sostituita nell’espressione del lavoro L fornisce:

Tale espressione risulta valida per qualunque corpo assimilabile ad un punto materiale di massa m e velocità v.
Concludiamo con la seguente definizione:
un punto materiale di massa m che si muove con velocità v, possiede energia cinetica (quantità scalare) espressa da:

Teorema delle Forze Vive

Ogni volta che una forza che agisce su un corpo compie un lavoro ed imprime una accelerazione e conseguentemente si ha una variazione di velocità e quindi di energia cinetica.
Se tale lavoro è positivo la componente della forza che lo genera ha la stessa direzione e lo stesso verso dello spostamento e quindi una componente dell’accelerazione nel verso del moto, la quale fa aumentare la velocità e conseguentemente anche l’energia cinetica.
Se si vuole mettere in relazione il lavoro positivo con l’aumento dell’energia cinetica si devono considerare tutte le forze agenti sul corpo.
Consideriamo un esempio molto semplice: un’auto che sta frenando.
La forza agente è quella che esercitano i freni ed i vari attriti, compresa la resistenza dell’aria. La risultante è una forza opposta al moto che compie un lavoro resistente e produce una diminuzione di velocità e quindi di energia cinetica. Si conclude che il lavoro fatto da una forza implica una variazione di energia cinetica, positiva o negativa a seconda che il lavoro sia motore o resistente.
In generale, una variazione di energia cinetica può essere valutata dal lavoro totale, in base al seguente teorema chiamato Teorema delle forze vive o dell’energia cinetica:
il lavoro compiuto dalla forza risultante agente su di un punto materiale lungo un arco di traiettoria qualunque è pari alla variazione dell’energia cinetica subita dal punto materiale nel suo passaggio dalla posizione di partenza a quella finale.
Sia l’energia cinetica iniziale posseduta da un corpo e sia quella finale, avremo che il lavoro compiuto è dato da:

L > 0 se si ha un aumento di energia cinetica
L L è i lavoro compiuto da tutte le forze agenti sul corpo

Energia cinetica di un corpo rigido

E’ ben noto che un corpo rigido (deformazioni nulle o trascurabili) si distingue da un punto materiale poiché le dimensioni non sono trascurabili e conseguentemente a questo, a seconda del punto di applicazione delle forze che su di esso agiscono, si hanno diversi effetti. In base a queste considerazioni quando si deve calcolare l’energia cinetica di un corpo rigido si deve tenere presente anche la rotazione che questo può subire e quindi nella valutazione dell’energia cinetica deve essere inclusa anche l’energia cinetica rotazionale.
Consideriamo un sistema rigido rotante intorno ad un asse. Tutte le particelle che compongono il sistema ruotano con velocità angolare ω costante intorno all’asse e con velocità tangenziale variabile con la distanza r dall’asse di rotazione. Per ottenere l’energia cinetica dell’intero sistema si devono sommare i contributi di energia cinetica di ogni singola particella, quindi si ha che:

Con 1, 2, …, n numero di particelle in cui si può pensare scomposto il corpo.

La quantità

Si chiama momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse di rotazione.
L’energia cinetica di un sistema di masse in rotazione può essere scritto come segue:

Il momento d’inerzia di un corpo rigido richiede metodi di calcolo spesso non facili, per questo motivo si possono trovare tabelle in cui sono elencate le espressioni dei momenti di inerzia di corpi rigidi la cui geometria e nota, rispetto a vari assi di rotazione.

Energia Meccanica

Consideriamo un corpo rigido o un punto materiale in moto. Durante tale moto variano sia l’energia cinetica che l’energia cinetica del corpo stesso in base alle forze che subisce (forze conservative).
Chiameremo energia meccanica la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale posseduta da un corpo o da un punto materiale in movimento:

Se il corpo in moto è soggetto a sole forze conservative tale energia meccanica rimane costante durante tutto il moto:
se un corpo rigido o un punto materiale compie uno spostamento da un punto A ad un punto B, soggetto a sole forze conservative, l’energia meccanica del punto A è uguale all’energia meccanica del punto B:

ossia è nulla la variazione di energia meccanica

Tale espressione costituisce il principio di Conservazione dell’Energia Meccanica.
In altre parole potremmo dire che durante il moto si mantiene costante la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale e che durante il moto l’una si trasforma nell’altra.
Consideriamo un semplice esempio: una massa m vincolata a muoversi su di un piano orizzontale collegata ad una molla inizialmente compressa.
Nella posizione iniziale avremo solo energia potenziale dovuta alla forza elastica:

dove k è la rigidezza della molla ed X è la sua deformazione.
Nel momento in cui la molla viene liberata si innesca un moto, la velocità, da zero, inizia a crescere e la deformazione della molla diminuisce: in tale moto l’energia cinetica cresce e quella potenziale diminuisce a spese della prima, la loro somma rimane costante.
Quando la molla sarà nella sua configurazione indeformata, l’energia cinetica sarà massima e quella potenziale nulla.
Continuando ad osservare il moto si nota che successivamente la molla tende ad allungarsi, quindi si crea energia potenziale elastica, mentre la velocità diminuisce (perché in questa fase la molla frena la massa) e quindi diminuisce l’energia cinetica; fino a quando la molla avrà raggiunto la sua deformazione massima (energia potenziale massima) e la massa sarà istantaneamente ferma (energia cinetica nulla).
Durante il moto la somma di tali energie è rimasta costante poiché l’energia cinetica si trasforma in energia potenziale e viceversa, facendo in modo che la loro somma (l’energia meccanica) rimanga costante.
Nel caso in cui le forzi agenti sul sistema studiato non siano tutte conservative avremo che la variazione dell’energia meccanica fra due punti del moto ci fornisce il lavoro totale compiuto dalla forze non conservative.

per ulteriori approfondimenti sull'energia meccanica vedi anche qua