Elettroni quasi liberi

Descrizione semiclassica

Principio di indeterminazione

Dim: Δp_i > 1/2

Principio di indeterminazione quantistica. Se bisogna descrivere l'elettrone dentro un atomo. Bisogna considerare l'elettrone in maniera classica.

Nel descrivere l'elettrone in maniera classica...

Interazione elettrone-nucleo R > G e^-2πiR/λ− 1 V(R) = V(R + R*b)

Potenziale di interazione elettrone-nucleo

Hχ = Eχ

Teorema di Bloch-Floquet χ(r) = e^-ιkRχ_R(r)

Interagenti con dei potenziali periodici.

Descrizione semiclassica

Principio di indeterminazione

$d(x (p)) \quad x = x(t) \quad \rightarrow \frac{E}{=} \frac{\hbar}{t(t)}$

$[\hat{x}, \hat{p}_{x}] = \frac{i \hbar}{t} \quad \frac{1}{2}$ $$\sigma \sigma (p_{x}) \vec{Pi}$$

$(\Delta p_{i} \Delta x \geq \frac{\hbar}{2}) \quad principio \hspace{3pt} di \hspace{3pt} indeterminazione \hspace{3pt} quanto \hspace{3pt} meccanico$ Fisico a quale punto carico un regime semi-classico?

$p_{x} = Pr_{et} = K_{X}$

$\Delta x_{l} \geq \frac{1}{2 \Delta p_{x}} \hspace{3pt} B \hspace{3pt} qui \hspace{3pt} entro \hspace{3pt} m \leq_{\frac{\Delta o}{P} [\hbar]}$

Se si prova a descrivere l'elettrone dentro l'elettrone [quantistico]

Teoricamente la linea quantistica... (rainiranio)

1. Reticollica clisica ma in una trabazione quantistica

Intermodulic di Sommerfeld non spiegcan l'Z perché in questo modello gli elettroni non coleggiano con il core

Interazione elettrone nucleo

Interazione elettrone nucleo R _G $e^{\frac{r}{E}}$

\phantom{1}$V(\vec{r}) = \frac{-\Lambda_{e}}{\,t_{x}\,}$

$V(\vec{r}) = V(F, = \vec{R}) \hspace{3pt} \rightarrow \hspace{3pt} interazione :e$ con $V(x_{F})$

Prudenziale di interazione elettrone-nucleco

$\sqrt{-\frac{r_{x} \sqrt{-\Lambda_{e}}}{\text{M}}} \rightarrow \displaystyle{H}(\vec{\nu}) = e^{=4} \rightarrow evasica mavoloma {ON}$

Teorema di Bloch-Floquet

Termorrea di Bloch-Floquet $\Psi(\vec{r}) = \mu_{K}(F) = e^{i K_{F}}$ Onde manoemonic delle in ampiezza per una funzione periodica

Grandormen gode la funcunazionale delle Auriquilazione genizes delle elettron nel scald $\int_{E_{k}^{-iKR}}^{e^{-i K_{R}}} \quad \mu_{k}= (\vec{K}-\vec{R})$

Autroversado non periodica

Formule e potenziali periodici

1) Formule 𝐕 = (k₂ / 2m) ∇² + 𝘍(r) ⋐ 𝐕(r) = 𝐕(r + R)

𝘍(r) = 𝘌(r + R) periodico

𝐕 = 𝐕 (r) 𝘍 (r) = 𝐕(r) ? 𝐕(r) = Hamiltioniano non dip. d'energia . essere visibile per ogni elemento della composizione . del calcolo senza perte dell'autore .

H(r + R) = H(r)` ; (k₂ / 2m) ∇²;   H(r + R) = 𝘍 (r) + risolvere da una setta particolare senza moltiplicazione a sistemare alle coordinater-bar =  periodicosenza del comportamento . costante appliazione non interessante della traslazioneal + az = *𝐕 (r + R) = H (r)

Se [A,B] = 0 - B A = H sono lo stress set di autovaluzione

𝐕_A 𝜎 = a 𝜎

𝜋_B 𝜎 = b 𝜎

Trova un operatore che commuti con l'Hamiltoniano perche' sia più facile calcolare le autovaluzioni

𝑅 (r) 𝐗 (r + R) = 𝐗 (r) [T,R] (r) = 𝐓 = T _x + T _y tenero sensibile ; commutatoro

Operatore di traslazione

Operatore di Traslazione

1) [T_R ,𝐕] = 0 [T_R, 𝐕] = T_R 𝐕 - 𝐕 T_R = 0

1/T_R 𝜌 (r) = 𝜌 (r + R)  p (r) = 𝜍 (r + R),   𝐕 (r) p (r + R) = H (r) p (r + R)= H (r + R) = [T ₀ p (r) =] (r) commutantario

𝜌 (x)^{i_k(r + R)},e^{r + R}_e;  𝜍 (R + R) = p (r) _*; (a, b) = 𝜍 p(r) Tψ_k(r) = e^ik-rψ_k(r + L_k) → PBC

ψ_k(r + L_j)

ψ_k(r + L_j) = e^ik(ri+li)

k_j - k_j = 2πm_j

m_j ℇ Z

k_j・L_j = 2πm_j

L_j・N_jn_j

ψ_k(r) = ∑_G e^{ik+G r}

1) ψ_k(r)

ψ(r) = ∑_k/G e^(k_i+e_g)r

e^ik*Li = e^iL_i

ψ(r) = e^ik(r+li)

1) Stessa condizione di quantizzazione in approssimazione

3D → ψ_k(r) continuo a cube 2) Eq. di Schrodinger nel reticolo reciproco:

Equazione di Schrodinger nel reticolo reciproco

|H|ψ = E |ψ

ψ = |ψ

H₂/2m + Σ_z + V_C(r)

ψ(r) = ∑ V_K+G e^ik・r→ somma su onde piane

Verso poche V^~ (r) divide me le PBC→ V_c periodico

V_C(r)→喷(r+R_i)= 1/Δe^ik

Transfeformato dei Fourier del potentiale V_C = 1/v_c∫∫ V_(r-G)e^-iGR

Usaba per qualsiasi potentiale

Perche sia reale

V_c(τ)

V_C(τ) = ∑_ρ V_c e^ik*τ

Se V_C antrosummetrico

V_(c'r) = V_C–q (r)= ∫ V_{(θc') e^-rG}

G_j = cubic N

V_C(τ) = Σ e^-i(τ・G)→ V_G ℇ R

per V_Cc

V_r = ₁/^Ω ∫ V(r) e^iGr d³r

Quando G = 0 punto Γ_Vr/^V_cella = ₁/^V_cella ∫_cellaV(r) e^iGr d³r = ₁/^V_cella ∫_cella V(r) d³r

Potenziali del piano di norma ad una costante(l'importante sono le differenze)

V_r = ₁/^V_cella ∫_cella V(r) d³r

Il limite di misura della trasformata sono le estreme del potenziale

Eq. di Schrodinger nel reticolo reciproco.

Ĥψ = Eψ

Ψ(r) = ∑_K C_K e^iKr

∫_cella Ψ(r) Ψ^*(r) d³r = 1

^ħ2/_2m ∇²ψ = _ħ²/^2m ∇²ψ - Eψ →  − = − Eψ = ∑_K=G

Ĥψ = ∑_K^ħ2/_2m k² K - e^ikr = ∑/_K ∈([[]]) /= ∈[E] \[(\sub>[2m]energia del particella libera

Se c'è un potenziale periodico

Vale ancora per V/K

Per ogni V/_k

Scritto _K devo prendere tutti i _K, _K-G

Ψ_(r) = Σ_K C_K e^iK*r

Esaurisco il primo piano

c_K-G e^-iG*r = Σ_K C_K e^iK*r

= Σ_K e^iK*r e^-iG*r

N seleziono ⇓ il primo piano

Onde piane ⇒ riproduce la struttura a bande

μ_R(r) = probabilità in ¯R μ_R(R) = Σ_K e^iG*r⇒ Teorema di Bloch -Σ_¯R(R)

Ψ_K(R) = Ψ_(R-t)

Scegliamo G specifico

e^iK*r ⇒ Σ_K C_K e^iG*r Ψ_K - Ψ_K-G*⇒ (Γ_R ⇒ É_K-G-(Ψφ_(R-t)) = Ψ(r) Autonomia sulle funzioni d’onda uguali É(¯K) = É(¯K-G)_K ∈ l.z.

⇓ legge di separazione periodica auto affine

Mezzo dispiremento

É(¯K) = ɹG* e^{-3 nlx}

Autofunzione di Bloch

Autofunzione di BlochΨ_>r = C_K L_Rµ_R(r)⇒ Ψ_(R+r) = e^iK*rµ_R(r)

8(É(¯K)) = É(¯K+G)

Effetto delle interazioni sulle autofunzioni:

et = V(r) V( r + R )

Struttura a bande degli elettroni quasi liberi

Struttura a bande degli e⁻ e con e⁻ quasi liberi

Nei metalli gli elettroni sono in prima, buona approssimazione liberi ma non indipendenti.

Nuclei → + Z contrapposto ( r_i ) che schermano il core

1° particella libera e⁻ quasi libero

Teoria perturbativa (potenziale debole)

E_k^o = kℏ² / 2m energia cinetica

Ψ_k( r ) = e^-ik⋅r μ_κ ( r ) → autofunzioni di Bloch

Ĥ₀ Ψ_κ = E_κ Ψ_κ

p_κ = iℏ κ

Autofunzioni di Bloch

Teoria perturbativa:

Ĥ_o |κ⟩ = E_o(κ) |κ⟩

Potenziale mantenere le autofunzioni le transizioni = ⟨κ' | V̂ | κ⟩ tra qze autof.

Elemento di matrice della transizione dallo stato. K dello stato K'

Probabilità di transizione

In generale perturbare l’equatore lo prende come una combinazione lineare degli autostati importabili, ognuno dei quali è popalto con una probabilità.

Autovalori pertubato come funzioni di base combinazione lineare

E(k) = E_F

E(k’) = E_F²

E_k(k’)= k_xk_yk_z/Z_n

E^a(k’)_k\eⁱ

Perturbazione di primo ordine

Perturbazione di 1° ordine

Modelli quod delle importanze di Fourier del potenziale eⁱ

Reticolo 1

E_k(k-G)

G = 0  2G

L’intersezione tale probabile

È il punto di degenerazione

Degenerazione per no semimolteplice di GR

Inumberi per degenerazione

Scelto C_$N equazione con un numero infinito di incognite C_R

k = G

Se ζ: k’= G + g_λ

Perché periodico nel reticolo critico:

G

Variabile di somma finita

Se ₀ perturba pieno allora i fini: ∀ ₀ ⇒ E₀(K- ₀) ≠E(₀*) Se V ≠0 → perturbadegenere locece nell'intorno di K/K' marcica prendendole sole due onde piane i cui autovalori di intersezionenel punto di degenerazione.

1) Degenerazione → non sono permessi 0 ordine

Possiamo fermarci al primo ordine (no degenerazione)

₁₂( ) ∑ (C_K+C_K*) = probabilita quotata in GG

Sommo al tutte due piane sono al punto di degenerare (G/K') puo sentiregni. autovalori posso movare la forza alle autop funzioni relative degli autovalore devono consideri.

Da somme di infiniti termini a 2termini: C(x e CReruco K₀ incognate che uluminate e 2, quindi 2equazioni nella sterseonde incognate (L), i piu soluzite si temini Incognate CR e CR-*G' (E(K )-E( K))C_K + (C + *)V _(G-)= 0

E₀(K-G ) E(K)*∑ L (C )*V₀ = 0

E₀(K )-E( )

Eo-x-E(K)

V=-0

det=(G-)/E =0

incognata1√E-0x-X(G-)(.5)∞

Vg piccolo perché teoria perturbativa si possa prendere H₀ che.

Se K= _G/²

E_± ( _G/²) = E₀( _G/²) ^± √[ E₀ ( _G/²) - E₀ ( _-G/²) ]² + [V_G]² ]^1/2.

= E₀ ( _G/²) ^± √[ E₀ ( _G/²) - E₀ ( _-G/²) ]² + [V_G]² ]^1/2

Perché le leggi di dispersione sono pari.

= E₀ ( _G/²) ^± 2 | V_G |

= E₀ ( _G/²) ^± √[ E₀ ( _G/²) + 1 | V_G | = E₀ ( _G/²)

2 soluzioni accettabili, perché per poter V_G 0

Nel punto di degenerazione il punto di avere una sola soluzioni ho 2 soluzioni accettate che convergono da due valori che fossero in un punto alle e non piu vicino al valore importante

Perché ordine delle componenti al Fourier dei potenziali relativi al G₁ considerato.

Bordo 1Δb derivata nulla per la periodicità J_G=0.

ΔE = E₂ ( _G/²) - E₁ ( _G/²)- E₂ ( _G/²) + |V_G| = E₀ ( _G/²) + |V_G| ∀E = 2 |V_G = 1| → | per ogni intersezione si crea la struttura a bande

Ogni degenerazione viene rimossa dalle componenti al Fourier del potenziale per quel particolare settore del reticolo reciproco.

Timizzazione della degenerazione porta a gap di energia struttura a bande.

↓2 parabole intersecanti → degenerazione 2 → 2 eq. in 2 incognite (2 onde)

N parabole intersecanti → degenerazione N → N eq. in N incognite (N onde)

Autofunzioni nel punto degenero

Autofunzioni nel punto degenero

_{CREK - G^*}

E₁(K) = E₀(K)

E₁(K) - E₀(K)

Modi intorno

Uso la prima equazione del sistema: (E₀(K_*) - E) C_R = C_K - E^*

Se E_K = G^*/2

In generale V _K0 = VG_X0

Se il cristallo è centrosimmetrico - -> V E G_R϶ = 0

C_RE_K - G^*

Coefficenti ugual in valore assoluto ma sono aω sinν sin...+1

φ_R - onde stazionarie si manifestano in

ω sin

Onda che delimita metà periodo

In 1 dimensione a...-v cos-ν cososcillazioni armoniche ->

V(x) = (2e^*)/x

Energia cinetica media uguale per ψ

Approssimazione di zona ridotta

In approssimazione di zona ridotta:

E(K) = E(-K) → E pari

Quanti stati possono esserci nella 1ZB?

kj: 2π/Lj Lj = 2n₁mj → 2π/L = (vettore più piccolo) NJ diversi valori di kj numero di celle nella direzione j

K = (k₁, k₂, k₃) → nⱼNJ; N₁N₂N₃ → N diversi valori di K numero totale di celle ΨK (r) = Ub valore di autoffunzione→ n valori di K → Pc ogni autofunzione può contenere 2e⁻ ↑↓ Ub celle primarie → 2e⁻ per ogni NJ

In ogni banda si possono mettere 2N elettroni

Esempio

Esempio:

Ah → 1 atomo per cella primitiva Le celle convenzionale 4 atomi

Elettroni di valenza G₅t → 1 e⁻ emesso per ogni elettroni per ogni atomo numero di stati doppi rispetto al numero di elettroni esempio metto banda Ɛₕ a metà e eletto a metà vuoto

Metalli buoni conduttori

Hanno parecchi stati liberi dopo gli stati occupati

Esempio: metalli alcalini → S² Un numero pari di elettroni di valenza

Ogni atomo mette 2e⁻ quindi ho 2N elettroni da accomodare → 2N stati disponibili

Banda completamente piena Non ci sono stati liberi dopo l’ultimo al massimo si restano occupati

Materiali sono ?