Elettrone urta le armature

Elettrone e campo elettrico

Un elettrone è lanciato, come in figura, con una velocità di 6,0 · 10⁶ m/sec ad un'inclinazione di v = 45°; E = 2,0 · 10³ N/C (diretto verso l'alto) d = 2,0 cm e l = 10,0 cm.

Urto dell'elettrone con le armature

1. L'elettrone urterà una delle armature? In caso affermativo, dove?

L'elettrone, entrando nel campo elettrico, è soggetto ad una forza avente verso opposto a quello di E. Se non vi fosse il campo E, l'elettrone proseguirebbe nella sua traiettoria rettilinea, invece vi sarà una forza F = qE che lo farà deviare; l'elettrone descriverà una parabola, dovuta alla composizione di due moti; uno di essi è rettilineo uniforme, l'altro è rettilineo uniformemente accelerato.

Introduco un sistema di assi x, y, prendendo come origine il punto di partenza dell'elettrone. La forza elettrica ha direzione dell'asse y. Quindi non vi è componente di forza secondo l'asse x. Si manterrà quindi costante la velocità V_e (componente secondo l'asse x di V_o).

Dopo un tempo t l'elettrone si troverà ad avere un'ascissa s_x = V_o t (*). Abbiamo due incognite: s_x, t. Mi servirò di un'altra formula di cinematica, applicata al moto dell'elettrone secondo l'asse y. Il moto secondo l'asse y è infatti uniformemente decelerato poiché la forza elettrica F ha verso opposto a V_y; la formula è: (col segno -) s_y = V_oy t ± ¹⁄₂ at² (**).

Voglio ricavare t cioè il tempo impiegato dall'elettrone per percorrere uno spazio, in direzione dell'asse y, uguale a d. Sostituendo il tempo t trovato, nella formula (*), si potrà dedurre se l'elettrone cade o meno sull'armatura.

Calcolo della decelerazione

In primo luogo occorre trovare a, cioè la decelerazione a cui è sottoposto l'elettrone: F = m.a da cui a = ^F⁄_m dove m = massa dell'elettrone. F = forza elettrica = q.E.

a = ^9·E⁄_m = ^{1,6·10^-19 · 2,0·10^3}⁄_9,1·10^-31 = 3,5 · 10^{14 m}⁄_sec²

Sostituisco nella (**), ponendo s_y = d = 20cm.

V_Oy = V_o sinθ = 6·10^{6 √2}⁄₂ ^m⁄_sec 2·10^-2

= 6·10^{6 √2}⁄₂ t - ¹⁄₂ 3,5·10¹⁴ t²

da cui 3,5·10¹⁴ t² - 6·√2·10⁶ t + 4·10^-2 = 0

t = ^{3√2·106 ± √148·1012 - 14·1012}⁄_3,5·10¹⁴ = 0,64 · 10^-8 sec.