Elementi di Algebra lineare e geometria

Nozioni generali

Testi (/ e) )/Mood dueformativa scegliere 7-→ libriandare offerta teoriaa asu esercitiedeid'del lezione materiale:corso esameDIARIO econtenutaALJECDWO Clap ( )lezioni pagina noodleregistrate

Implicazione logica

IMPLICAZIONE LOGICAA> )SIMBOLO Bche( implica allora. .. tesiipotesicaso fondamentale teoremi:a B Ba ( (B)( }B) )nona aequivale aa 3non : >× )/A èB =3, ✗» × => i×non ✗B)(( B)a) ladiverso daè pg ,= ,non >non ×nonF F l' cedenteanti è falso l' èse implicazione veroFFF implicazioneA doppiaasolo aB BBe sese e=

Funzioni

Funzioni✓ U fI funzioneè da Velemento diogniUVin vienese-i . mandato elemento di Uin un" i,f è fcvU V tale )cheognisuriettiva elementoalmenon e c-elementoperse =uvesiste unf- immagineiniettivaè hacodominio unadel haelementoogni che ne soltantose preuna finf- fivzè )ha ) v2visidominio Ventrambi al chedi elementiiniettiva se V2ogni va appartenenti = -✗ coppia , f-f- f-fini ) →Vfunzione () cheè funzioneOSSERVAZIONE èinV2 ogni= vi.V2 garantisceun: v2perse una-

Numeri complessi

NUMERI COMPLESSISEGMENTI Dall'SPICCATI ORIGINE lunghezzarapportot didel la lunghettola dtturro quellosegmento rossotra: e)✓ & "di /lf "" °°""" " "°" "② formato unitario: angolo da ilcon segmentoril unitariocherotazione susegmentoporta ra)( i unitàlunghettounitario immaginariasegmentoi. = =-0t.li i@ èdenotasi realeNUMERO ecomplesso numerononcon = une costante> 1er = >o con%)È /@Ci cio ei ☒È +< ' )ftp.rz-22G. rz zcomposizione -22= r=-21 = =. rz, . .-, dilatazione di coefficienterzry =.☒ dell'-02 angelorotenone+ =ESEMPIO : i %2- z@= 45 '=è 2- ci È< 42- = . {è it> g.=z

Esercizi applicativi

Esercizi applicativi Rappresentare e calcolare sul piano di ARGAND GAUSS i seguenti vettori:zei ei ÈÈ ÉI ¢z = . È èÈ " § T[È %% 32 z== . Il fattore due è la lunghezza del numero complesso in relazione a quella. , g dell’unità. Quindi sarà lunga il doppio del segmento unità di base.è L’Unità dei numeri complessi che si indica con 1 è un pedice D girato,2- in notazione esponenziale è stata da 1 per e^i (che moltiplica un angolopari a zero). Quindi poichè qualunque potenza come sponente zero fa1, ecco il valore del segmento unitarioeiÈci ? "1W w n= . . @È)È /ÈÈ È)" } ) "WZZ " +" 1utz"" %((fa fg 1=@16= =n .- -. . i § IT@=2?È unità1. dell'1 1 rappresentazione=,

Nomenclatura

NOMENCLATURA Dato un numero complesso z, nella forma esponenziale r*e^i(teta) ilMODULOcoefficiente r si dice di z è si denota con |z|. Nell’ambito deinumeri complessi non è un valore assoluto ma un modulo, la lunghezzadi un segmento che rappresenta quel modulo.-0È /il coefficiente 1Data di Z denotadicesi 2-modulor siz r= e. Dato z appartenente ai numeri complessiÈ diversi da zero, quindi non nulli esiste un** ÉZ 'E'' didenotato cheEd E tale EDato e- [Z detto1¢esiste inZ z in=numero =un .con numero appartenente ai numeri complessi nonnulli e denotate con z^-1 tale che il prodotto=/ a complessinumeri di z per z^-1=z^-1 per z è uguale all’unità.

Esercizi applicativi inverso

ESERCIZI APPLICATIVI INVERSOZ^-1 è detto DI ZCalcolare e rappresentare sul piano i numeri tra parentesi I numeri complessi in notazione esponenziale non")lei È2- hanno un modo solo per essere espressi.=" cit → 1= Due numeri diversi elevati alla stessa potenza dallo lo stesso numero.Un numero e il suo opposto elevati al quadrato dammo lo stesso") =-3ÈÈ( numero nei reali, nel caso dei complessi la situazione è più5=2- < complessaI "Ee-§ Z4 1za5 Z4lei È /=↳ ! ei ÉTLei E io')r.ci 'reio -( e-f.hasara si =cit 4)(2- =¢ [ i 41T ae

Molteplicità di scrittura

MOLTEPLICITÀ DI SCRITTURAei "" qualsiasi K1 intero= L’Unità dei numeri complessi è uguale alla rotazione di 0 °, di 2pi greco, di 6 pi greco….per, ( )@eiei eiei@ -12ktei ZITK@ a2- r] =pr r== = .... .. I numeri interi sono numeri naturali con segno, +-1, +-2…

Argomento principale

Argomento principale Un qualunque numero complesso z, che si scrive con r per e per i tetain notazione esponenziale deve essere uguale ad uno per se stesso.Uno elemento neutro)[l') D-( inèArg angolo Emodoassociato 1- chet 0,21TaL’argomento principale è l’angolo associato a z in modo che questo angolo teta appartenga all’intervallo 0-2pi greco dove zero è escluso è più greco è incluso. L’argomentosarebbe l’angolo della notazione esponenziale, c’è ne sono infiniti quello principale è tra 0 e 2 po greco Per calcolare l’inverno con l’argomento)#è ⑦ PROBABILITÀAITÀ all'-0=0 {- principale se teta sta nell’intervallo→f. ESAMEcalcolo PrincipaleARGOMENTOINVERSO CON : con selezionato. Imparare a rappresentareun numero complesso conARGOMENTO PRINCIPALEConsiderando l’insieme dei numeri complessi non nulli, il prodotto di due numeri complessi è sempre un numero complesso.Tale prodotto è un’operazione BINARIA perchè combina una coppia di numeri per darne un terzo. Esiste un elementoNEUTRO rispetto al prodotto con 1 e per ogni complesso z esiste un numero e tale che wz = zw =1. Tale a si dice INVERSOdi z. Per il prodotto di numeri complessi vale la proprietà ASSOCIATIVA perchè a(bc)= (ab)c per ogni terna a,B,c di numeri Questa formula si usa solo nel casodell’inversocomplessi, vale inoltre la proprietà commutativa che rende questo insieme un gruppo sbeliano

Definizione

DEFINIZIONE ( )chiamiamo è èdoveSTRUTTURA ALGEBRICA insieme G#G G *e• operazioneun'coppia ainternauna un,* datidi l'un' seguentiG tale cheinsieme diceoperazionedotato binaria leGGgainun si• Gruppoelemento valgonoappartengae # a seg g g, , ,proprietà : ① ¥9192,9 (9*92)*93=9,1*(92*93)GAssociativa in hasi: ,Eveesistenza Anche i numeri reali sono un gruppo commutativo ma i numeri=② 7 G VTGEG16*9--9*74=9NEUTROMENTO cheelemento tale1g eun complessi rispetto ai reali hanno una cosa dove seono piùpotenti. Hanno una caratteristica molto più importante③ ' 'G7 "GEG g- taleINVERSO g-che 1g: c- gg = ovver.o:l’insieme dei numeri complessi non nulli è chiuso=g rispetto all’estrazione di radice n-ennesima. Per ogni numerovaleinoltrese complesso posso ricavare le radici, ma nei numeri reali le radicidei numeri negativi non sono calcolabili, per i complessi si può④ ¥9192 GC- ha 9<=92*9si calcolare qualunque radice di grado n.gn #COMMUTATIVA ,il dice ABELIANOsiallora COMMUTATIVOoppuregruppo Èl' )(OSSERVAZIONE moltiplicazionedotato èdellacomplessi nulliinsieme commutativogruppo: unnon L’Unità possiede sempre tante radici.deve essere☒ un numero complesso che elevato alla n deve dareè¢l' all' radicediinsieme rispetto esimachiuso estrazione n - 1. Per cui come modulo è sempre 1. Ma comeangolo posso prendere 2 pi greco/n. Questo se loelevo alla n mi da 1.èseiè F-èÈ K" 2K -1-1÷ ±o-con -, , , ., ..I ci/ )Ci "È <" casi^' il= sarebbefino 1TKen →aKeo -1 conncon 1,2 ., . .. fuori l' intervalloENNESIMARADICE 4=3 Git =pnz tin = "= -K KZ=\Iite. KaKK 3-2 oK- - ]t to KK =3 4-È ÈZITK/ È" K unitàdell'leK radici seste6sono0,1 n= e= -., .. ENNESIMA DIRADICE 2ESTRAGGO

Formula di De Moivre

Formula di De Moivreion " Serve a calcolare le radici ennesime di qualsiasi numero complesso" ¥r.ie -0 è'r.ci ?-0 )è [D-" ena v. = r ea. qui== . - scritto in notazione esponenziale.)¥-1(ei" K ogni Kr 0,1 -1= ti. =per . ,., .MODULO RADICITROVARE LEFORMULA PERESERCIZI APPLICATIVIfq.ci/I-+E'tk=z.eiE'tk4eijI2 )K-1=-3( Èi} # i3 ITKeiit gg. = @@ z. . )È'ZÈTK) / K) 2¥55 5# TKZgittjeitk(/ èi 5'f-ei 'Èei 52-1Git' -z e= z= = 2.@z ,. ..

Somma di numeri complessi

SOMMA DI NUMERI COMPLESSIEÉ Si tratta di una somma0 ABELIANA quindiCARTESIANARAPPRESENTAZIONEE→ E commutativaE ))Reit InraIÉ z = ;ZeÈZz Andiamo a calcolare le componenti,ÈZi N B- . COMPONENTE ORIZZONTALE: PARTE REALE DI ZRett) REALEPARTE COMPONENTE VERTICALE: PARTE IMMAGINARIA DIZcon queste due parti Formiamo la RAPPRESENTAZIONEESERCIZIO APPLICATIVO CARTESIANA. DESCRIVIAMO Z con le sue coordinate.La parte reale è quella immaginaria sono numeri reali.Possono essere positivi o negativi ma sono numeri reali-Ez ( )ba{Zn 2-= an=i ,, § ({ )ba2- Zz al= =< ,, )( )(1+53) )( -1-22=14+22Ttt bntbz{{ Z2- -172 = ,a , , i)(1-RAPPRESENTAZIONE =CARTESIANA 1,0[ -7 4( )introdurre 0¢ elemento neutro sommaalla0,0 risp=posso : .) ib) fa( b2-2- a.ogni esiste=per =- -, - Supponiamo di avere un segmento, raggio di unacirconferenza, questo segmento avrà lunghezza r, uneeiit numero reale positivo e creerà un angolo sull’asseESPONENZIALEROTAZIONE→ = orizzontale. Le funzioni seno e coseno sono definite dallea)f l' dell' unità] opposto7- =- ¢ , proiezioni sull’asse orizzontale e sull’asse verticale diquesto segmento. La proiezione sull’asse orizzontale a, èFi"" icoefficiente immaginario - uguale ad r per il coseno di teta, quella sull’asse B, sarà rper il senso di teta.ÈÈÈ ( )" iRAP CARTi 0,7:|= = =- .Èei " )Fii ilo n-= ; -=- Sono funzioni periodiche, 0-2pi greco. Il modulo moltiplica seno ecoseno, possiamo quindi considerare una circonferenza di raggio 1,FUNZIONI SENO E COSENO in modo che la r non compaia. La funzione coseno è una FUNZIONETRASCENDENTE, calcolabile punto per punto. Ci sono alcuni punti incui è bene conoscere il valore della funzione in maniera precisa. Laforma della funzione seno viene traslatava destra di pi greco mezzi.ÈE- =Lcosa COSE✓a. sin =1 == , ED= lisina sin =Egcosb 2r 0 ¥ =Lsinecos = 211 6a- AMATE COSENO= 1 I 1o I { TI 21TIT2IEMITSU SENO= 1-

Calcolare parte reale e immaginaria

Calcolare parte reale & IMMAGINARIALa parte reale di z, è uguale ad r per il coseno di teta, r è il modulo di zeta e teta è l’argomentoprincipale. Quindi modulo di zeta per l’argomento di Zeno. Per trovare la parte immaginaria dir.ci -0 larghi)Retz ) 12-1cosa usa invece il seno. Queste formule ci permettono di passare dalla rappresentazionez r-= cos=- - esponenziale alla rappresentazione cartesiana.)INIZI r-sina-lzt.sn/argl7l= Da esponenziale a cartesiana è possibile tramite leformule scritte precedentemente.☒ )c') (( cartesiana) INIZIRett rcoso.rs/n0-Dacoordinate →→ esponenticartesiane alla r2- :;= -.( ) IRb;D o r' modulo-152Da /IZ2- adC- =esponenzialea cartesiana aa. := , Da cartesiana ad esponenziale, dobbiamo trovare{ quanto vale il modulo di z, che è effettivamente laI./ cosa2-a = lunghezza di un segmento, che nel piano cartesianoARGOMENTO Arg0 si trova con il teorema di Pitagora. Per trovareD= IZI Sina- l’argomento dobbiamo risolvere un sistema diequazioni; come quello a lato.ci ①alibi ① ( )2- = con dell'soluzione sistemoargomento.

Rappresentazione algebrica

Rappresentazione algebricab)) la( 11,0) )-1510,11¢ avederlo2-se= 1,0 == com eposso, Ci sono ben altre sue rappresentazioni, abbiamo visto quellaIo )i. b. i grafica, quella esponenziale è quella cartesiana. Tuttavia esiste-1a. 1¢= ], = anche una rappresentazione algebrica. Ricordiamo cheib possiamo rappresentare L’Unità dei numeri complessi con ia += numeri (1;0) e poi possiamo rappresentare L’Unità immaginaria i,in notazione cartesiana con la coppia (0;1).)Retz ) Innlzi inigiadadi 1-polinomio+=ESEMPIO : (3+41)=55)( il 1) Se z in notazione cartesiana è uguale alla coppia a,b, questo possoi2- + + -I vederlo come il numero reale a che moltiplica componente perI componente la coppia 1, 0 + il numero reale B che moltiplica la coppia= 5 - 0,1. C’è un prodotto dello scalare per ognuna delle componenti dellaQuando abbiamo una potenza pari della i, coppia.è questo da esattamente la coppia a,b.(3+41)=2.3--153+2( 5) 4i-i5.iqi2- questa finisce in un numero reale, se la-I potenza è dispari si varrà qualcosa di!iii -7. |-20= 6 proporzionale ad i. Tutte le potenze pari-- diventano numeri reali. La rappresentazione algebrica di z è uguale ad a per 1 + i volte B. Significai26 7-= - parte reale di zeta + i volte la parte immaginaria di zeta. La rappresentazionealgebrica descrive co,e poi nomi di grado 1, in i, come se i fosse l’incognita, ilcoefficiente del termine di grado 1 in i è la parte immaginaria. Questa notazioneè comoda per i prodotti e non solo per le forme.

Rappresentazione trigonometrica

Rappresentazione trigonometricai.rs/-n0 r=lz V0- Argl7)usanor=-zle0-=ArgH La rappresentazione trigonometrica è un’ulteriore rappresentazione, che prende la rappresentazione)) -11mRetz ( cosa2- = f.= -1t algebrica e scrive la parte reale ed immaginaria in funzione di r e teta. Unisce proprietà