Econometria - la proiezione e la causalità

F. Carlucci, A. Girardi – Traccia per un corso di Econometria

Modulo X – Modelli VAR

3. Proiezione e causalità

Indice del capitolo

• 3.1. La proiezione puntuale ................................................................................................ 2
• 3.2. Il caso del rumore bianco ............................................................................................. 4
• 3.3. La proiezione lineare ................................................................................................... 6
• 3.4. Il caso del valor medio non nullo.................................................................................. 9
• 3.5. La scomposizione della varianza dell’errore di proiezione ...................................... 10
• 3.6. La causalità secondo Granger ................................................................................... 12
• 3.7. La proiezione puntuale per i modelli con parametri stimati .................................. 14
• 3.8. Risposte all’impulso e scomposizione della varianza dell’errore di proiezione per i modelli con parametri stimati................................................................................... 19
• L’analisi delle risposte agli impulsi.................................................................... 19
• La scomposizione della varianza dell’errore di proiezione ............................... 19
• 3.9. Test di non causalità secondo Granger..................................................................... 22
• 3.10. La proiezione intervallare ......................................................................................... 25
• 3.11. Test di cambiamento strutturale .............................................................................. 27
• 3.12. Bibliografia ................................................................................................................. 31

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Modulo X – Modelli VAR

3.1. La proiezione puntuale

Consideriamo ora il problema di prevedere nel futuro il vettore generato dal y_t modello VAR(p) (2.1.1) che per comodità riportiamo di nuovo nel seguente:

y_t = c + A₁y_t−1 + A₂y_t−2 + … + A_py_t−p + u_t (3.1.1)

Subordinatamente alla conoscenza di un insieme di informazioni che indichiamo Ω_t, dove l’indice t indica che le informazioni sono quelle disponibili al tempo t, anche se riguardano, oltre al passato, anche i tempi che seguono t.

Se Ω_t è costituito dai soli valori passati e presenti di y_t, cioè Ω_t = {y_s | s ≤ t}, non si prevede ma lo si proietta. Nel prosieguo ci occuperemo soltanto di proiezioni, effettuate quindi conoscendo i valori di y_t nel campione, per t = 1, 2, …, n, e proiettandolo uno, due, …, h tempi in avanti supponendo che valga ancora il modello (3.1.1):

y_n+h = c + A₁y_n+h−1 + A₂y_n+h−2 + … + A_py_n+h−p + u_n+h (3.1.2)

E(u_n+h) = 0 ∀ h (3.1.3)

E(u_n+hu′_s) = Σ_u se s = n + h

= 0 se s = 1, 2, …, n, n + 1, …, n + h − 1

Chiamiamo ŷ_n+h queste proiezioni puntuali, che sono tali perché riguardano il punto (vettoriale) y_n+h; quando le ŷ_n+h sono considerate aleatorie, perché sono aleatori tutti i suoi componenti, le chiamiamo proiettori. Proiettori e proiezioni¹ sono indicate con lo stesso simbolo: la differente interpretazione è facilmente determinabile dal contesto.

La differenza tra y_n+h e la sua proiezione costituisce l’errore di proiezione al tempo n+h:

e_n+h = y_n+h − ŷ_n+h (3.1.4)

che quando ŷ_n+h è considerato come un proiettore è denotato con una tilde sovrapposta, ỹ_n+h. L’errore di proiezione è utile per caratterizzare il proiettore ŷ_n+h, che è naturale scegliere come quello che minimizza l’errore quadratico medio (MSE²) di proiezione:

E(ẽ_n+hẽ′_n+h) (3.1.5)

Corrispondente alla minimizzazione del MSE di proiezione di ogni componente del vettore y_n+h. Minimizzando la (3.1.5) si ottiene il proiettore: infatti

E(ẽ_n+hẽ′_n+h) = E[(y_n+h − ỹ_n+h)(y_n+h − ỹ_n+h)′]

= E[(y_n+h − E(ỹ_n+h|Ω_n) + E(ỹ_n+h|Ω_n) − ỹ_n+h)(y_n+h − E(ỹ_n+h|Ω_n) + E(ỹ_n+h|Ω_n) − ỹ_n+h)′]

= E[(y_n+h − E(ỹ_n+h|Ω_n))(y_n+h − E(ỹ_n+h|Ω_n))′]

+ E[(y_n+h − E(ỹ_n+h|Ω_n))(E(ỹ_n+h|Ω_n) − ỹ_n+h)′]

− E[(y_n+h − E(ỹ_n+h|Ω_n))(E(ỹ_n+h|Ω_n) − ỹ_n+h)′] (3.1.6)

dove E(ỹ_n+h|Ω_n) è il valor medio di ỹ_n+h condizionato alla conoscenza delle informazioni contenute in Ω_n, e dove si è sfruttato il fatto che

E[(ỹ_n+h − E(ỹ_n+h|Ω_n))(E(ỹ_n+h|Ω_n) − ỹ_n+h)′] = 0

perché u_t, per t > n, non correlati con ỹ_n+h − E(ỹ_n+h|Ω_n), funzione degli u_t con t > n.

Se si prende come proiettore il valor medio condizionato:

ỹ_n+h = E(ỹ_n+h|Ω_n) (3.1.7)

si minimizza la (3.1.5), nel senso che si minimizza l’errore quadratico medio di proiezione di ogni componente del vettore y_n+h o, in maniera equivalente, che vale la relazione:

E(ẽ_n+hẽ′_n+h) = E[(ỹ_n+h − E(ỹ_n+h|Ω_n))(ỹ_n+h − E(ỹ_n+h|Ω_n))′]

Si osservi allora che la (3.1.5) può essere considerata come la matrice degli errori quadratici medi di proiezione di ogni elemento di y_n+h.

¹ Come gli stimatori sono il corrispondente aleatorio delle stime.

² Mean Square Error, in inglese.

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3.2. Il caso del rumore bianco

Se il processo u_t è un rumore bianco indipendente, cosicché i residui u_t ed u_s sono indipendenti per t ≠ s, si ha che il proiettore ottimale h tempi in avanti è:

E(ỹ_n+h|Ω_n) = c + A₁E(ỹ_n+h−1|Ω_n) + ... + A_pE(ỹ_n+h−p|Ω_n) (3.2.1)

dalla quale si ottiene, ricorsivamente,

E(ỹ_n+1|Ω_n) = c + A₁y_n + A₂y_n−1 + ... + A_py_n−p+1

E(ỹ_n+2|Ω_n) = c + A₁E(ỹ_n+1|Ω_n) + A₂y_n + ... + A_py_n−p+2

...

che nel caso del modello VAR(1) diventano:

E(ỹ_n+1|Ω_n) = c + A₁y_n

E(ỹ_n+2|Ω_n) = c + A₁(c + A₁y_n) = (I_k + A₁)c + A₁²y_n

...

E(ỹ_n+h|Ω_n) = (I_k + A₁ + ... + A₁^h−1)c + A₁^hy_n

Esempio

Utilizziamo due generiche serie storiche, y₁ e y₂, relative ad un orizzonte temporale costituito da n = 40 osservazioni. L’andamento nel tempo di queste due serie è riportato nella Figura 3.1.

Figura 3.1 y₁ (linea continua) e y₂ (linea tratteggiata). Valori percentuali.

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Ipotizziamo che il processo generatore dei dati sia rappresentabile mediante il seguente il modello autoregressivo vettoriale di ordine uno:

[y_1,t / y_2,t] = [1.20 / −1.08] + [1.27 0.65 / 1.93 0.66] · [y_1,t−1 / y_2,t−1] + [u_1t / u_2t]

dove il vettore dei residui si suppone un processo del tipo rumore bianco indipendente. Per calcolare il proiettore ottimale h tempi in avanti è necessario partire dalle realizzazioni al tempo n degli elementi di y_t. Nel caso in esame si ha:

[y_1,40 / y_2,40] = [4.07 / 4.73]

Limitando l’orizzonte della proiezione a h = 3 tempi, otteniamo:

E(y₄₁|Ω₄₀) = [1.20 / −1.08] + [1.27 0.65 / 1.93 0.66] · [4.07 / 4.73] = [3.29 / 5.78]

E(y₄₂|Ω₄₀) = [1.27 0.65 / −1.93 0.34] · [1.20 / −1.08] + [0.36 0.39 / 1.17 0.81] · [4.07 / 4.73] = [1.62 / 3.58]

E(y₄₃|Ω₄₀) = [2.62 1.04 / −3.09 0.47] · [1.20 / −1.08] + [0.30 0.03 / 0.08 0.22] · [4.07 / 4.73] = [0.93 / 1.83]

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3.3. La proiezione lineare

Nel paragrafo precedente è stato determinato il proiettore ottimale nel caso di residui indipendenti. In realtà questa ipotesi è abbastanza restrittiva ma può essere indebolita se il proiettore è ristretto alla classe di quelli lineari. In altre parole è generalmente più conveniente utilizzare proiettori lineari con residui semplicemente non correlati (anche se stocasticamente non indipendenti) che non proiettori generici ma con residui indipendenti.

Mostriamo questa possibilità dapprima per i VAR(1) e poi per modelli VAR(p), tutti con c = 0.

Scriviamo la (1.7.2) per t = n+h e per j = h−1; otteniamo il modello VAR(1) scritto nella forma:

y_n+h = A₁^hy_n + ∑_i=0^h−1A₁ⁱu_n+h−i (3.3.1)

Quindi prendiamo un generico proiettore lineare nelle correnti e ritardate y_t:

ŷ_n+h = B₀y_n + B₁y_n−1 + ... (3.3.2)

dove le B_i sono matrici di coefficienti, e costruiamo l’errore di proiezione:

ẽ_n+h = y_n+h − ŷ_n+h = A₁^hy_n − B₀y_n − ∑_i=1^∞B_iy_n−i + ∑_i=0^h−1A₁ⁱu_n+h−i (3.3.3)

per cui, sfruttando il fatto che u_n+j, per j ≥ 0, è non correlato con y_n−i, per i ≥ 0:

E(ẽ_n+hẽ′_n+h) = E[∑_i=0^h−1A₁ⁱu_n+h−i ∑_i=0^h−1A₁ⁱu_n+h−i′]

+ E[(A₁^h − B₀)y_n − ∑_i=1^∞B_iy_n−i][(A₁^h − B₀)y_n − ∑_i=1^∞B_iy_n−i]′ (3.3.4)

che è minimo, nel senso indicato sopra, per B₀ = A₁^h, e B_i = 0 per ogni i > 0. Allora il proiettore (3.3.2) diventa:

ŷ_n+h = A₁^hy_n (3.3.5)

l’errore di proiezione (3.3.3):

e_n+h = ∑_i=0^h−1A₁ⁱu_n+h−i (3.3.6)

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e l’errore quadratico medio (3.3.4):

E(ẽ_n+hẽ′_n+h) = E[∑_i=0^h−1A₁ⁱu_n+h−i ∑_i=0^h−1A₁ⁱu_n+h−i′] = ∑_i=0^h−1A₁ⁱΣ_uA₁^i′ (3.3.7)

Per definire gli analoghi valori per il modello VAR(p) possiamo utilizzare la sua trasformazione in VAR(1) operata nel paragrafo 1.9. Il proiettore (3.3.5) diventa:

ξ̂_n+h = F^hξ_n = F^hξ_n+h−1 (3.3.8)

dove sulla falsariga della (1.9.2), è:

ξ̂_n+h = [ŷ′_n+h ŷ′_n+h−1 ... ŷ′_n+h−p+1]′

e moltiplicando ξ̂_n+h dato dalla (3.3.8) per la matrice J = [I_k 0 … 0], come effettuato nella (1.9.4), si ottiene:

ŷ_n+h = Jξ̂_n+h = JF^hξ_n = A₁ŷ_n+h−1 + A₂ŷ_n+h−2 + ... + A_pŷ_n+h−p (3.3.9)

con la quale si possono effettuare ricorsivamente le proiezioni.

D’altro canto, per ottenere l’errore di proiezione basta scrivere il modello (1.9.2) nella forma (3.3.1):

ξ_n+h = F^hξ_n + ∑_i=0^h−1Fⁱv_n+h−i (3.3.10)

e considerare che per le (3.3.8) e (3.3.10):

e_n+h = y_n+h − ŷ_n+h = Jξ_n+h − Jξ̂_n+h = ∑_i=0^h−1JFⁱv_n+h−i = ∑_i=0^h−1Ψ_iu