Econometria - i residui ricorsivi

F. Carlucci – Traccia per un corso di econometria

Modulo II – Minimi quadrati

5 La proiezione ed i residui ricorsivi

Indice del capitolo

• 5.1 La proiezione dei minimi quadrati ........................................................................2
• L’errore di proiezione ......................................................................................3
• L’errore quadratico medio di proiezione ..........................................................3
• Proiezione ex ante ed ex post............................................................................4
• Indicatori dell’accuratezza delle proiezioni......................................................8
• 5.2 Intervalli di confidenza per le proiezioni............................................................. 11
• 5.3 Il caso di variabili esplicative non note nel periodo di proiezione......................... 15
• L’errore quadratico di proiezione nel caso di x non noto............................. 15
• n h+ Il teorema di Cebiscev ................................................................................... 16
• 5.4 I residui ricorsivi ................................................................................................ 18
• Due formule per il calcolo ricorsivo ............................................................... 19
• La devianza residua ricorsiva....................................................................... 20
• Minimi quadrati ricorsivi e diagnostica del modello...................................... 21
• ≤k 5.5 Due test di cambiamento strutturale nel caso n ............................................. 27
• 2 Il test del Chow basato sulle proiezioni.......................................................... 28
• Il test preliminare di uguaglianza delle varianze .......................................... 30
• Applicazioni alla funzione delle importazioni................................................ 30
• 5.6 Verifica della stabilità dei parametri .................................................................. 33
• I test CUSUM e CUSUMSQ.......................................................................... 35
• 5.7 L’impiego delle variabili di comodo nella proiezione............................................ 38
• L’errore quadratico medio di proiezione e l’intervallo di confidenza della proiezione ..................................................................................................... 38
• Il test di significatività dell’errore di proiezione............................................. 40
• Un’interpretazione alternativa del test del Chow ........................................... 41
• Un’applicazione: effettuiamo il test del Chow con EasyReg ............................ 42
• 5.8 Bibliografia ........................................................................................................ 46

Il paragrafo 5.7 e le applicazioni sono state redatte da Alberto Bagnai.

08/12/02; 16.02 II edizione

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

5.1 La proiezione dei minimi quadrati

Consideriamo nuovamente il modello lineare multiplo (1.3.4)

= β + β + + β + (5.1.1) y x x … x u_t 1 1t 2 2t k kt t

e poniamoci il problema di proiettare fuori del campione che percorre il tempo y_t = =. In altre parole, vogliamo determinare , per , dove t 1, 2, …, n y h 1, 2,…, m n+h

l’intervallo temporale è detto periodo di proiezione. Se utilizziamo n+1, n+2,…, n+m il modello (5.1.1), stimato nel periodo campionario, per proiettare occorre y_t

supporre che la struttura economica, già ipotizzata sostanzialmente invariante nel campione, rimanga la stessa nei due periodi, rendendo così possibile l’utilizzazione della stima dei minimi quadrati nella proiezione di . Se inoltre supponiamo di y_t =

conoscere i valori futuri delle variabili esplicative per , e di far valere h 1, 2, …, m anche per il futuro le ipotesi deboli per i residui

〈σ = +² s n h~ ~~ = · =, (5.1.2)〉 E (u ) 0 E (u u )+ + ≠ + = +n h n h s s n h; s 1, 2 , ..., n m 0

per ogni , per cui risulta “naturale” prendere come proiezioni dei residui il loro h valor medio, che è nullo, la proiezione al tempo è ŷ n+h+n h

= β + β + + β ŷ ŷ ŷ ŷ_n+h 1 1 n+h 2 2 n+h k k n+h (5.1.3)

In effetti non è tanto la proiezione di quanto della sua componente ŷ y_{t+n h} sistematica, poiché la proiezione di è stata posta arbitrariamente uguale a zero. u_t

Questa procedura, tuttavia, può essere giustificata in senso probabilistico se si considera, come ad esempio fatto dal de Finetti [1970] in ambito soggettivista, la proiezione di una variabile aleatoria come suo valor medio; in questo caso si ha

~= = β + β + + β ŷ E ( y ) x x ... x_{+n h} n+h 1 1 n+h 2 2 n+h k k n+h

β e i parametri , sconosciuti, devono essere sostituiti da stime. i

La proiezione (5.1.3) considerata come una variabile aleatoria funzione degli β̂ stimatori diventa un proiettore della parte sistematica del modello, che è BLU se i si utilizza il criterio di stima degli OLS: infatti è lineare rispetto alle poiché y_t lineari sono gli stimatori OLS; è non distorto

= β + β + + β = β + β + + β ŷ ŷ ŷ ŷ E ( y ) E ( x x ... x ) x x ... x_{+n h} 1 1 n+h 2 2 n+h k k n+h 1 1 n+h 2 2 n+h k k n+h

ed ottimo

~ ~ ~= β + β + + β ≤ + + + ŷ ŷ ŷ ŷ Var ( y ) Var ( x x ... x ) Var (b x b x ... b x )_{+n h} 1 1 n+h 2 2 n+h k k n+h 1 1 n+h 2 2 n+h k k n+h

~ ~ dove sono stimatori qualsiasi nella classe dei lineari e non distorti, in b ,..., b_{1 k} = quanto vale la (1.8.2) se si prendono le costanti pari a , . c x i 1, 2, …, k i i,n+h

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Modulo II – I minimi quadrati ordinari

L’errore di proiezione

Rimarchiamo il fatto che, a meno di non accettare l’impostazione del de Finetti, il proiettore (5.1.3) non è uno stimatore non distorto di definito dalla (5.1.1), y_n+h mentre lo è della sua componente sistematica. Esso, tuttavia, può essere considerato non distorto in un altro senso, che illustriamo facendo ricorso all’errore di proiezione definito nella maniera seguente

k∑ = − = β − β + ŷ (5.1.4) e y y ŷ ( ) x u_{+n h} n+h n+h i i i n+h n+h =i 1

Poiché il valor medio dell’errore (5.1.4) è nullo

k∑ ~ ~= β − β + = ŷ (5.1.5) E (e ) E ( ) x E (u ) 0_{+n h} i i in+h n+h =i 1

il proiettore può essere considerato come uno stimatore non distorto di nel ŷ y_{n+h+n h} senso che il valor medio dell’errore di proiezione è nullo. In questo caso si dice che è un proiettore incondizionatamente non distorto. ŷ +n h

L’errore quadratico medio di proiezione

La varianza dell’errore di proiezione è facilmente trovata in termini matriciali

′~ ~ ~= = β − β + = ŷ ²Var ( e ) E ( e ) Var [ x ( )] Var ( u )_{+n h} n+h n+h n+h n+h

′ ′ ′ = β − β + σ = σ + − ŷ ^{2 2 1}x Cov ( ) x [1 x ( X X) x ]_{+n h} n+h n+h n+h n+h (5.1.6)

~ dove nel secondo passaggio sono stati utilizzati la (5.1.4) ed il fatto che è u +n h incorrelato per la (5.1.2) con tutti i residui del periodo campionario e quindi con gli β̂ stimatori ; nel terzo passaggio è stata operata la (1.8.1) e nel quarto, infine, la i (1.6.18). La varianza (5.1.6) è detta errore quadratico medio di proiezione ed è 1 spesso considerata come un indicatore della precisione della proiezione. Tanto più piccolo è questo errore tanto più precisa è la proiezione, per cui il proiettore (5.1.3) gode di una grande rilevanza valendo il seguente

Teorema 5.1 - Nella classe dei proiettori lineari (rispetto alle ) ed y_t β̂ = incondizionatamente non distorti, se i , , sono gli stimatori dei i 1, 2, …, k i minimi quadrati ordinari il proiettore (5.1.3) è quello che possiede errore quadratico medio minimo.

Infatti, utilizzando l’algebra delle matrici, ogni altro proiettore lineare nelle è y_t del tipo

In lingua inglese: Mean Square Error (MSE) of prediction. 1

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Modulo II – I minimi quadrati ordinari

′ ′ ′ ′ = +− (5.1.7) ¹y [ x ( X X ) X d ]y_{+n h} n+h

dove è un vettore di costanti arbitrarie di dimensione . Il suo errore di d n proiezione è

− = ′ β + − ′ ′ ′ + ′ β + =− ¹y y x u [ x ( X X ) X d ]( X u )_{+n h} n+h n+h n+h n+h

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = β − + β − + + =− −^{1 1}x [ x ( X X) X d ] X [x ( X X ) X d ]u u_{+n h} n+h n+h n+h n+h

′ ′ ′ ′ ′ = − β − +−¹u d X [x ( X X ) X d ]u_{+n h} n+h n+h β

che deve essere nullo, per ogni , sotto l’operatore valor medio affinché sia y +n h incondizionatamente non distorto. Occorre, quindi, che sia

= (5.1.8) d′X 0

L’errore quadratico medio del proiettore (5.1.7) è dunque

{ }~ ~ ~− = + ′ ′ ′ + ′ ′ + ′ =− −^{2 1 1}E [( y y ) ] Var (u ) E [x ( X X ) X d ]u u [d X ( X X ) x ]_{+n h} n+h n+h n+h n+h n+h

′ ′ ′ ′ ′ (5.1.9) = σ + σ + σ + =− −^{2 2 2 1 1}d d [ x ( X X ) x 2 d X ( X X ) x ]_{+n h} n+h n+h

′ ~= σ +² d d Var (e )_{+n h}

′ ′ ′−dove sono utilizzati la (5.1.6), la (5.1.8) ed il fatto che lo scalare ¹x ( X X) X d+n h uguale al suo trasposto; inizialmente, d’altro canto, si è fatto uso della non ~ ~ correlazione (5.1.2) tra e ciascun elemento del vettore associato ai tempi da u u+n h ad . 1 n

La (5.1.9) è minima se , cioè se il proiettore è quello definito dalla (5.1.3). La d=0 tesi è così dimostrata.

Proiezione ex ante ed ex post

Nelle pagine precedenti abbiamo considerato un periodo di proiezione esteso fuori del campione da a su un intervallo temporale nel quale i valori della n+1 n+m variabile dipendente non sono ancora noti. Una proiezione di questo tipo viene detta proiezione ex ante, ad indicare appunto che essa viene effettuata prima di conoscere i valori storici della variabili proiettata. Si definisce invece proiezione ex post la proiezione effettuata all’interno del campione, cioè riferita a un intervallo temporale nel quale i valori storici della variabile dipendente sono disponibili (il termine ex post allude appunto al fatto che la proiezione viene effettuata dopo che i valori della dipendente sono stati rilevati). In quest’ultimo caso il campione di n osservazioni viene scisso in due sottocampioni, in modo analogo a quanto viene fatto quando si imposta un test di cambiamento di struttura (si veda il par. 3.4). Il primo campione consta di osservazioni e su esso si effettua la stima del modello, n 1 mentre il secondo (campione di proiezione ex post) consta di osservazioni. La n 2 proiezione viene quindi calcolata sulle osservazioni da a . n n +1 n +n = n2 1 1 2

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Modulo II – I minimi quadrati ordinari

La proiezione ex post è effettuata sul passato, anziché sul futuro, della variabile, e quindi non ha una rilevanza operativa, ma ha una grande importanza in termini diagnostici. Infatti solo ex post è possibile misurare gli errori di proiezione del modello (errori che ex ante sono variabili aleatorie) e quindi valutare l’accuratezza della proiezione stessa. In termini intuitivi, si può affermare che se un’equazione non prevede bene il passato della variabile dipendente, generalmente le sue previsioni saranno poco accurate anche riguardo al futuro. La precisione della proiezione ex post è quindi una condizione necessaria, ma non sufficiente, perché si possa prestare fiducia al modello quando lo si impiega nella proiezione ex ante.

Per esemplificare i concetti esposti finora riprendiamo la funzione delle importazioni (3.3.29) e utilizziamola per effettuare una proiezione ex post. Il campione disponibile, lo ricordiamo, consta di dati trimestrali dal 1970 al 1989 per un totale di osservazioni. Nel paragrafo 3.5 questa equazione è stata n = 80 sottoposta a test di cambiamento di struttura considerando due sottocampioni rispettivamente di e osservazioni (l’osservazione esima n = 25 n = 55 n -1 2 1 corrisponde al primo trimestre del 1976) , ottenendo la statistica riportata F 8,63 nella (3.5.12), che risultava significativa, evidenziando la presenza di problemi di cambiamento di struttura.

Valori storici e proiezione ex post

11.0 10.5 10.0 9.5 9.0 1970Q1 1973Q4 1977Q3 1981Q2 1985Q1 1988Q4 Trimestri LNM Forecast

Figura 5.1 – I valori storici del logaritmo delle importazioni e quelli proiettati mediante la (5.1.8).

La probabile presenza di un cambiamento di struttura segnala che la proiezione ex post effettuata sul sottocampione da 1976:2 a 1989:4 potrà essere accurata. Per costruire la proiezione applichiamo la (5.1.3) all’equazione (3.5.11), tenendo presente che i coefficienti stimati sul primo sottoperiodo corrispondono a quelli

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Modulo II – I minimi quadrati ordinari

delle variabili esplicative non “spezzate”, cioè non moltiplicate per la variabile di comodo , che serve appunto a rappresentare l’eventuale spostamento (shift) dei d t parametri fra il primo e il secondo sottoperiodo. In altri termini, la formula utilizzata per il calcolo delle proiezioni è

= ŷ −ln y -10.94 + 0.92 ln x + 0.99 ln x 0.28 ln x +_{+n h} 1 1 ,n h 2 ,n h 3 , n h 1 1 1 (5.1.10)

+ 0.22 ln x + 0.10 d + 0.06 d + 0.03 d_{+4 ,n h} 1, n h 2 ,n h 3 , n h 1 1 1 1

dove, come abbiamo specificato, (corrispondente al primo trimestre del n = 25 1 1976) e , con . Si noti che abbiamo omesso la variabile di comodo h = 1, …, n n = 55 2 2 puntuale poiché essa nel periodo di proiezione vale sempre zero. d 73,t

Utilizzando la (5.1.10) e i valori delle esplicative nel secondo sottoperiodo si costruisce la proiezione ex post rappresentata nella figura 5.1. Come è lecito attendersi, data la presenza accertata di un cambiamento di struttura, la proiezione ex post è sistematicamente distorta. In particolare, il modello sovrastima sistematicamente l’andamento delle importazioni nel secondo sottoperiodo, cioè l’errore di proiezione è costantemente negativo. Da questo punto di vista quindi il grafico 5.1 non fa che confermare il risultato (3.5.12). La conseguenza operativa di questo risultato è che per ottenere un modello da utilizzare a scopo di previsione ex ante dovremo quanto meno stimare il modello eliminando le osservazioni antecedenti al cambiamento di struttura. I parametri stimati sull’intero campione sono infatti una mistura dei parametri corrispondenti al primo e al secondo regime, e quindi forniscono proiezioni distorte.²

Proviamo quindi a costruire un modello previsionale omettendo le osservazioni relative agli anni ’70: la prima osservazione corrisponde quindi al primo trimestre del 1980; omettiamo inoltre le ultime otto osservazioni, corrispondenti all’ultimo biennio del campione, per costruire con esse la proiezione ex post. Abbiamo quindi (corrispondente a 1987:4) e . La stima della (3.3.29) sul primo n = 32 n = 8 1 2 sottocampione fornisce questi risultati

=ln ŷ -13.82 + 1.15 lnx + 1.024 lnx + 0.007 lnx - 0.123 lnx +_t 1t 2t 3t 4t

(-6.8) (5.4) (13.6) (0.17) (-2.2) (5.1.11)

−+ 0.036 d - 0.023 d 0.013 d_1t 2t 3t

(3.0) (-2.4) (-1.0)

= =²n = 32, R = 0.986, RSS 0.0039, SEE 0.012, JB = 0.67, BP = 7.3_c

In questo ragionamento sono implicite le ipotesi che il cambiamento di struttura sia unico ² e sia stato correttamente individuato, e inoltre che il secondo regime si mantenga anche al di fuori del campione di stima. L’ultima ipotesi

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dove gli indicatori diagnostici hanno il consueto significato e inoltre è la BP statistica del test di omoschedasticità di Breusch e Pagan [1979] condotto utilizzando una regressione ausiliaria analoga alla (4.3.14). Le stime non sono particolarmente soddisfacenti, né sotto il profilo dell’interpretazione economica (le variabili di prezzo hanno segno contrario a quello atteso e il deflatore delle importazioni non è significativo), né sotto il profilo statistico (la statistica di χ Breusch e Pagan si distribuisce come un , con un valore soglia al 5% pari a 3.84, 2 1 quindi l’ipotesi di omoschedasticità dei residui è respinta).

Valori storici e proiettati

10.6 10.5 10.4