Leonardo Latella DISTRIBUZIONE BINOMIALE
Consideriamo un evento A relativo a un determinato esperimento. La probabilità che, su n
prove indipendenti condotte tutte nelle medesime condizioni, si abbiano k successi, con
≤ è data dalla formula (*)
k n ⎛ ⎞
n −
= k n k
⎜ ⎟
p ( k ) p q
n p
, ⎝ ⎠
k
⎛ ⎞
n
⎜ ⎟
dove è il coefficiente binomiale, p indica la probabilità del singolo evento A, costante
⎝ ⎠
k = −
in tutte le prove, e q la probabilità dell'evento non(A), quindi .
q 1 p
n
La probabilità che non si verifichi alcun successo è , e quindi la probabilità che si
q ⎛ ⎞
n
− n ⎜ ⎟
verifichi almeno un successo è . Ma quanto vale ?
1 q ⎝ ⎠
k
Dato un insieme A si definiscono permutazioni di n elementi (diversi tra di loro) i
raggruppamenti formati dagli n elementi presi in un ordine qualsiasi.
= − − ⋅ =
P n ( n 1)( n 2)...2 1 n !
n
Dato un insieme A di n elementi si definiscono combinazioni semplici degli n elementi di
≤
classe , i raggruppamenti di k elementi scelti tra gli n dell’insieme A, tali che ogni
k n
raggruppamento differisca dagli altri per la natura degli elementi, senza considerare
l’ordine degli elementi. [ ]
− − − − ⎛ ⎞
n
( 1)( 2)... ( 1)
n n n n k
= =⎜ ⎟
C n , k ⎝ ⎠
k
!
k [ ]
− = − − − ⋅ ⋅
Moltiplicando numeratore e denominatore per otteniamo
( n k )! ( n k ) ( n k ) 1 ...3 2 1
(*) ⎛ ⎞
n n !
=
⎜ ⎟ −
⎝ ⎠
k ( n k )! k !
Come già detto in un evento relativo ad un esperimento la probabilità che, su n prove
indipendenti condotte tutte nelle medesime condizioni, si abbiano k successi è
⎛ ⎞
n −
= k n k
⎜ ⎟
P k p q
( )
n p
, ⎝ ⎠
k
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
n n n
n
∑
− − − + =
+ = + + + + =
n n n n n k n
1 2 2 k
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
dato che e p q 1
q p q pq p q p p q
( ) ...
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
k
1 2 =
k 0
⎛ ⎞
n
n n
∑ ∑ −
= = + =
k n k n
⎜ ⎟
e che P k p q p q
( ) ( ) 1
n p
, ⎝ ⎠
k
= =
k k
0 0
n
∑ =
si ha (*)
P ( k ) 1
n p
,
=
k 0
Valore medio e deviazione standard della distribuzione binomiale
Il valor medio della variabile casuale binomiale k su n prove è, per la defini
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