Disequazioni di primo grado (2)

Come si risolvono le disequazioni di

Primo grado

Disequazioni intere

Le disequazioni intere sono del tipo polinomiale, ossia del tipo

x+3>2x (Non ci sono frazioni al loro interno!).

Vediamo attraverso un esempio come si risolvono.

2

3x+2-(x-1)(x+1)<x

Risolvere:

Step 1 Svolgiamo i calcoli nella parentesi, in questo caso il prodotto tra le parentesi è un prodotto notevole, infatti (x-1)(x+1)=x²-1 (Il prodotto della somma per la differenza tra due numeri è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine). Quindi la nostra disequazione diventerà:

3x+2-(x²-1)<-x² → 3x+2-x²+1<-x² → 3x+2+1<0

I termini in x² si cancellano perché se portiamo il termine –x² del primo membro al secondo membro avremo x²-x²=0 (considerando solo i termini in x²).

Step 2 Portiamo tutti i termini con la x al primo membro (quello di sinistra) e tutti i termini senza la x al secondo membro (quello di destra). Nel nostro caso abbiamo un solo termine con la x, ossia 3x e lo lasciamo al primo membro, e poi abbiamo due termini senza la x, ossia 2 e -1, che li portiamo al secondo membro e nel trasportarli li cambiamo di segno: 3x<-2-1 →

3x<-3

N.B. Notiamo che quando facciamo passare un termine da un membro all’altro gli dobbiamo sempre cambiare il segno!

Step 3 Data 3x<-3 dobbiamo dividere entrambi i membri per il coefficiente davanti alla x, in questo caso è 3, quindi:

→ x<-1

3 3

x←

3 3

Quindi il risultato è x<-1.

Vediamo un altro esempio.

x-3(x-1)< 3

Step 1 Facciamo prima la moltiplicazione con i termini della parentesi: x-3x+3< 3

Step 2 Portiamo le x al primo membro, gli altri termini senza la x al secondo membro (in questo caso dobbiamo trasportare solo un 3 al secondo membro: x-3x< -3+3

Step 3 Svolgiamo i calcoli:

-2x< 0

Step 4 Siccome abbiamo un segno meno davanti alla x, cambiamo il segno e questo lo possiamo fare se cambiamo anche il verso della disequazione: 2x>0

Step 5 Dividiamo per 2: → x > 0

2 0

x>

2 2

N.B. Ogni volta che ci sta un segno meno davanti alla x, dobbiamo sempre cambiare il segno cambiando anche il verso della disequazione e il segno agli altri termini. Per esempio: -3x> 1 → 3x< -1 → x< 1/3 .

Altro esempio: -6x < 4 → 6x> -4 → x> 2/3

Ora vediamo le disequazioni con frazioni, ma senza la presenza di incognite al denominatore.

3 1

Risolviamo: <1

x+

2 3

Step 1 Facciamo il minimo comune multiplo (m.c.m.) tra 2 e 3, che è uguale a 6.