Disequazioni intere, fratte, incomplete

Disequazioni di 2° grado

ax² + bx + c ≷ 0

ax² + bx + c ≷ 0 a > 0 ax² + bx + c = 0 (eq associata)

x = _{-b ± √(b² - 4ac)} / _2a

b² - 4ac = Δ

ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c ≤ 0 ax² + bx + c ≥ 0 parabola

Δ > 0 ∀x ∈ ℝ x = _-b / _2a ∀x ∈ ℝ x ∉ ℝ x ∉ ℝ ∪

Δ = 0 ∀x ∈ ℝ ∀x ∈ ℝ x ∉ ℝ x = _-b / _2a ∩

Δ < 0 ∀x ∈ ℝ ∀x ∈ ℝ x ∉ ℝ x ∉ ℝ -

Disequazioni di 2° grado

ax² + bx + c ≷ 0

a > 0

ax² + bx + c = 0 (eq associata)

x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

Tabella

Δ > 0

Δ = 0

Δ Esempio:

Esempio: 4x² + 8x < 12

4x² + 8x < 12

4x² + 8x - 12 < 0

x² + 2x - 3 < 0

x² + 2x - 3 = 0

∆ = b²-4ac = (2)²-4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 > 0

x = ^{-b ± √∆}/_2a = ^{-2 ± √16}/₂₍₁₎ = ^{-2 ± 4}/₂ = 1

a > 0 ∆ > 0

x₁ = -3 x₂ = 1

Valori interni x₁ < x < x₂

-3 < x < 1

Cambio segno

Cambio segno

x² - 2x + 10 > 0

x² - 2x + 10 = 0

Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4(1)(10) = 4 - 40 = -36 < 0

a = 1 > 0

b = -2

c = 10

Es. imposs.

x² - 2x + 10 > 0

Sempre verificata

x² - 2x + 1 > 0

Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0

a = 1 > 0

b = -2

c = 1

x ≠ -b/2a ---> x ≠ -2/2(1)

x ≠ 1

Esempio: 15-x-2x² > 0

15-x-2x² > 0

-2x²-x+15 > 0

2x²+x-15 < 0

Δ = b²-4ac = (1)²-4(2)(-15)= 1 + 120 = 121 > 0

x = ^{-b ± √Δ}/_2a = ^{-1 ± √121}/₂₍₂₎ = ^{-1 ± 11}/₂= ^-1-11/₂ = -6 → x₁= ^-1+11/₂ = 5 → x₂

-6 < x < 5

Disequazioni fratte

^A(x)⁄_B(x) ≥ 0

^A(x)⁄_B(x) ≤ 0

Si pone sempre numeratore > 0 e denominatore > 0 e poi si fa uno studio del segno:

^x-5⁄_2x²+x-1 > 0 N: x-5 > 0

(x > 5)

D: 2x²+x-1 > 0

Δ = b²-4ac = 1-4(2)(-1) = 9 > 0

x = ^{-b ± √Δ}⁄_2a = ^{-1 ± 3}⁄₄ = -2 ⁄ 1

x < -2 ∪ x > 1

-2 < x < 1   x > 5

Secondo esempio di disequazione fratta

x² + 2x + 4x² - 1

N: x² + 2x + 4 > 0

a = 1 > 0

b = 2

c = 4

Δ = b² - 4ac = 4(1)(4) = 16= 12 < 0

∀ x ∈ R (J.V)

D: x² - 1 > 0

a = 1 > 0

b = 0

c = -1

x² - 1 = 0 → x² = 1

x = ±1

x < -1 ∨ x > 1

-1 < x < 1

Terzo esempio di disequazione fratta

^4x-12/_x²-5x+6 ≤ 0

N: 4x-12 ≥ 0

4x ≥ 12

x ≥ ¹²/₄

x ≥ 3

Δ: x²-5x+6 > 0

Δ = b²-4ac ==(-5)²-4(1)(6)==25-24=1 > 0

x = ^{-b ± √Δ}/_2a = ^{5 ± √1}/₂₍₁₎ = ^{5 ± 1}/₂ == {^5-1/₂ = 2⁵⁺¹/₂ = 3

x 3x