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Equazioni parametriche di primo grado

Discutere la seguente equazione al variare del parametro k

9 +6 = +5 +5 −

Portiamo l’equazione nella forma canonica:

= → = ∧ ≠0

−9 +5 +5 −6− =0

−4 +5 −6− =0

−4 +5 −6− =0

−4 = −5 +6

−4

=

= −5 +6

−5 +6

=

= −4

Scomponiamo:

−4= −2 +2

−5 +6= −2 −3 −2 −3

= −2 +2

−3

= +2

Abbiamo la forma della nostra soluzione che dipende dai valori di k.

Ricordiamo ora che:

l’equazione è determinata

= ∧ ≠ 0 l’equazione è impossibile

= ∧ =0∧ ≠ 0 l’equazione è indeterminata

= ∧ =0∧ = 0

Discutiamo quindi: l’equazione è determinata e ammette soluzione:

≠0→ +2≠0→ ≠ −2 −3

= +2

L’equazione è impossibile.

=0∧ ≠0→ = −2 ∧ ≠ 3

Infatti essa diventa: = = l’equazione è indeterminata: =

=0∧ =0→ = −2 ∧ = 3 =

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Sintesi

Discussione di un'equazione parametrica di primo grado

Discussione al variare del parametro

Discutere un'equazione al variare del parametro k.

Cosa significa?

L'equazione di primo grado ridotta alla forma canonica assume questo aspetto:

[math]Ax=B[/math]

La sua soluzione è:

[math]x=\frac{B}{A}[/math]

Questo significa che deve essere necessariamente
[math]A\neq0[/math]
, altrimenti non possiamo effettuare la divisione tra i due coefficienti.

Quando i coefficienti A e B dipendono da un parametro, bisogna vedere per quali valori assunti dal parametro A e B esistono e l'equazione ammette soluzione oppure no.

Tipi di equazione di primo grado

Ricordiamo ora come può essere un'equazione di primo grado.

  • Determinata: se ammette una sola soluzione, in questo caso basta che sia
    [math]A\neq0[/math]
    .
  • Indeterminata: se ammette infinite soluzioni, in questo caso i due coefficienti sono entrambi nulli.
  • Impossibile: se non ammette soluzioni, in questo caso significa che
    [math]A=0[/math]
    .

Abbiamo quindi le seguenti condizioni:

  • Determinata:
    [math]x=\frac{B}{A}∧A≠0[/math]
  • Indeterminata:
    [math]A=0∧B=0[/math]
  • Impossibile:
    [math]A=0∧B≠0[/math]

Applicazione numerica

Vediamo un'applicazione numerica di esempio.

Discutere la seguente equazione al variare del parametro k.

[math]9x+6=k^2 x+5k+5x-k^2[/math]

La prima cosa da fare è quella di portare l'equazione alla forma canonica per evidenziare i due coefficienti A e B:

[math](k^2-4)x=k^2-5k+6[/math]

La sua soluzione è:

[math]x=\frac{B}{A}=\frac{k^2-5k+6}{k^2-4}[/math]

Cerchiamo di usare le scomposizioni dei polinomi, se possibile, per avere una forma più semplice su cui discutere:

[math]x=\frac{k-3}{k+2}[/math]

A questo punto non ci resta che esaminare come devono essere A e B.

L'equazione è determinata se:

[math]A≠0→k+2≠0→k≠-2[/math]

E la sua soluzione ha la forma:

[math]x=\frac{k-3}{k+2}[/math]

L'equazione è indeterminata se:

[math]A=B=0→k=-2\wedge k=3[/math]

L'equazione è impossibile se:

[math]A=0\wedge B\neq 0→k=-2\wedge k\neq3[/math]
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