Dinamica e controllo - parte 1

Dinamica e controllo dei S.E.

Il sistema eccitato da un ingresso U(t) risponde con una risposta Y(t).

Il sistema considerato ha le seguenti specifiche:

• Lineare
• Tempo invariante - non importa l'istante d'ingresso
• SISO - a fronte di un ingresso c'è una sola uscita - Single In - Single Out
• A parametri concentrati - useremo equazioni differenziali a param. concentrati

Dinamica e controllo dei S.E.

Il sistema eccitato da un ingresso U(t) risponde con una risposta Y(t).

Il sistema considerato ha le seguenti specifiche:

• Lineare
• Tempo invariante - non importa l'istante d'ingresso
• SISO - a fronte di un ingresso c'è una sola uscita - Single In - Single Out
• A parametri concentrati - useremo equazioni differenziali a param. concentrati

Supponiamo sempre t=0.

_i=0ⁿΣ a_i y⁽ⁱ⁾(t) = _j=0^mΣ b_j u^(j)(t)

Problema tipo

Dato un y^k(0)=0 condizioni iniziali con κ che va da κ: 1 a m-1 poiché dobbiamo conoscere l'uscita fino all'ordine m-1.

Allora il sistema ci darà una risposta che sarà la somma di due termini:

• Uno dipendente dall'ingresso
• Uno che dipende dal sistema al tempo t=0 ovvero l'inizio iniziale

In base alle condizioni iniziali si definiscono due tipi di sistemi:

• Statici
• Dinamici

La soluzione y(t) come già detto dipende da due contributi:

y(t) = y_g(t) + y_f(t)

Integrale generale

È la risposta libera del nostro sistema:

• Senza sollecitazioni esterne, non ha il termine forzante
• Caratterizza la sollecitazione e l’evoluzione del sistema

Integrale particolare

È la risposta forzata, cioè il problema privo delle condizioni iniziali.

Determina il comp. del sistema fino a tempo indefinito.

Integrale generale

{ ∑ a_i y⁽ⁱ⁾(t) ≤ 0 { y^(k)(0) = c

La soluzione si ottiene dall’omogeneo associato.

Integrale particolare

∑ a_i y⁽ⁱ⁾(t) = ∑ b_j u^(j)(t) y^(k)(0) = 0

Dipende solo dall'eccitazione e non dallo stato iniziale.

a_n dⁿ/dtⁿ y(t) + ... + a₁ y(t) + a₀ = 0

Equazione omogenea e polinomio caratteristico

Data un’equazione omogenea possiamo associare ad essa un polinomio caratteristico che ha:

• Gli stessi coefficienti dell’equazione
• N radici, dove n è l’ordine del sistema → possono essere reali o complesse

a_n sⁿ + ... + a₁ s + a₀ = 0

Se le radici sono complesse (∈ C) allora sono complessi coniugati.

s₁ = α + β

s₂ = α - β

Le radici possono avere molteplicità.

Le N° radici le chiameremo questo perché corrispondono a modo di risoluzione del sistema.

I modi hanno tutti la seguente forma:

A t^κ e^λ_it

κ = 1 ÷ g-1

g sono le molteplicità della radice λ.

Modi e soluzioni del problema omogeneo

Le combinazioni lineari delle radici del nostro sistema hanno la seguente forma:

h(t) = ∑_i=0^r ∑_k=0^g_i-1 Λ_i,k t^κ e^λ_it

Ma sono anche soluzioni del problema omogeneo associato.

y_g(t) = ^rΣ_j=1 ^s_jΣ_k=0 A_ik t^k e^λ_jt

Radici di molteplicità 1

y^(j) = ^dj/_dt^j y(t) = A λ^j e^λt

y₀ = A e^λt

^mΣ_i=0 a_i y⁽ⁱ⁾(t) = ^mΣ_i=0 a_i A λⁱ e^(λt)

⇒ ^mΣ_i=0 a_i λⁱ = 0

Se λ è complesso, i due λ, ovvero le radici complesse coniugate:

A e^{Re (λ)} cos (ωt + φ)

⇒ Esaurirà la sua evoluzione se e solo se la parte reale del complesso è negativa, se invece è ≠ 0 allora oscillerà all'infinito.

Segnali canonici

Il segnale che indica la posizione è il gradino.

1 se t ≥ t₀, 0 se t < t₀

Integrando il gradino ottengo il segnale della velocità ed è chiamata rampa.

∫ gradino = velocità

Integrando nuovamente otten