Dimostrazioni analisi I

Domande appelli

• Dare la definizione di funzione continua in un punto. Enunciare e dimostrare il teorema di Lagrange. Darne un'interpretazione geometrica.
• Dare la definizione di funzione continua in un punto. Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale e fornire la sua interpretazione geometrica.
• Dare la definizione di retta tangente in un punto ad una curva. Dimostrare il teorema dei valori intermedi e fornire un esempio di applicazione.
• Dare la definizione di estremo superiore e inferiore di una funzione, di minimo e massimo assoluto e relativo. Fornire un esempio di una funzione data il minimo assoluto ma non il massimo assoluto. Enunciare e dimostrare il teorema dei valori intermedi.
• Dare la definizione di funzione derivabile in un punto. Classificare i punti di non derivabilità e fornire un esempio per ogni caso. Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat.
• Dare la definizione di successione assolutamente convergente. Dimostrare che ogni serie assolutamente convergente converge semplicemente. Che rapporto ha con la funzione continua e teorema? Esibire esempi e controesempi.
• Dare la definizione di serie e successione limitata. Fornire un esempio di successione illimitata. Dimostrare che ad ogni successione convergente è limitata.
• Dare la definizione di funzione derivabile in un punto. Significato geometrico della derivata prima. Ricavare la retta tangente, il rapporto fra una curva in un punto. Definizione di e differenziale primo e sua interpretazione geometrica.
• Dare la definizione di successione e di limite di successione. Dimostrare che ogni successione convergente è limitata. È vero anche per le funzioni? Esibire esempi e controesempi.
• Polinomio di Taylor. Dimostrare la formula del resto.
• Dare la definizione di funzione analitica o funzione sviluppabile in serie di Taylor. Enunciare e dimostrare il teorema che fornisce condizione necessaria per la sviluppabilità in serie di Taylor.
• Dare la definizione di serie e di serie resto. Enunciare e dimostrare il teorema che lega il comportamento della serie e della sua serie resto associata. Fornire un'applicazione.
• Dare la definizione di successione. Dimostrare che ogni successione convergente è limitata. È vero anche per le funzioni?
• Dare la definizione di serie. Dimostrare la condizione necessaria per la convergenza di una serie e commentare il risultato. Dare la definizione di funzione derivabile in un punto. Dimostrare che ogni funzione derivabile in un punto è continua. Commentare il teorema.
• Dare la definizione di funzione continua in un punto. Dimostrare il teorema sui valori intermedi.
• Dare la definizione di serie. Enunciare e dimostrare la condizione necessaria di convergenza di una serie. Dimostrare che la serie a termini al segno costante sono regolari.

Domande appelli (Ripetizione)

• Dare la definizione di funzione continua in un punto. Enunciare e dimostrare il teorema di Lagrange. Darne un'interpretazione geometrica. Enunciare e dimostrare i corollari del teorema di Lagrange.
• Dare la definizione di funzione continua in un punto. Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale e fornire la sua interpretazione geometrica.
• Dare la definizione di retta tangente in un punto ad una curva. Dimostrare il teorema dei valori intermedi e fornire un esempio di applicazione.
• Dare la definizione di estremo superiore e inferiore di una funzione, di minimo e massimo assoluto e relativo. Fornire un esempio di una funzione data un minimo assoluto ma non di massimo assoluto. Enunciare e dimostrare il teorema dei valori intermedi.
• Dare la definizione di funzione derivabile in un punto. Classificare i punti di non derivabilità e fornire un esempio per ogni caso. Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat.
• Dare la definizione di serie assolutamente convergente. Dimostrare che ogni serie assolutamente convergente converge semplicemente. Che rapporto c'è con la condizione sufficiente e teorema? Esibire esempi e controesempi.
• Dare la definizione di successione illimitata. Fornire un esempio di successione illimitata. Dimostrare che ogni successione convergente è limitata.
• Dare la definizione di funzione derivabile in un punto. Significato geometrico e grafico di una figura. Ricavare, l'esatta definizione di derivata di una curva in un punto. Definizione di, di differenziale primo e sua interpretazione geometrica.
• Dare la definizione di successione ed il limite di successione. Dimostrare che ogni successione convergente è limitata. È vero il viceversa? Esibire esempi e controesempi.
• Polinomio di Taylor. Dimostrare la formula del resto di Peano.
• Dare la funzione analitica o funzione sviluppabile in serie di Taylor. Enunciare e dimostrare il teorema che fornisce condizione necessaria per la costruzione di funzioni sviluppabili in serie di Taylor.