Dimensione e base di uno spazio vettoriale assegnato

∈ {(k − − −2,

Sia k e sia A = {(k − 1, 0, 2, k + 1), (1, k − 1, 0, k + 2), (0, 1, 1), (0, 0, k, k)}. Sia L(A)

R ∈

la chiusura di A. Calcolare la dimensione di L(A) al variare di k e determinare una base

R

per L(A). Nel caso k = 1 determinare equazioni cartesiane e parametriche per L(A); dire infine

− ∈

se (1, 2, 4, 7) ∈ L(A).

Soluzione

Si ha

−

k − 1   0   2   k + 1

− k − 1   0   2

k − 1   0   k + 1

−

1   k − 1   0   k + 2 −

−

−k   1   k − 1   0

1   k − 1   k + 2 =

+ k

=

−2

0   1   1   −2

−2   −1   0   1

0

0   0   k   k   2

−

= 2k(1 − k)

per cui il rango della matrice

è 4 se k = 0, k = 1 e k = −1; in tal caso la dimensione di L(A) è 4 e A è una base per L(A). Se

0

k = 0 la matrice A diventa

che ha come minore non singolare il minore 3 × 3 dato da

−1   0   2

−1   1   0 = −3.

−2   0   1

−1

+2 = −2

0   1   0

Nel caso k = 0 si ha dunque che A ha rango 3, per cui L(A) ha dimensione 3 ed una base per L(A) è data da

B = {(−1, −1, −2, 0), (0, 2, 1), (1, 0, 2), (0, 1, 1)}.

0

Se k = 1 la matrice A diventa

che ha ancora rango 3 dal momento che

1   0   0

−2   0   1 = −2.

0   0   1

In tal caso la dimensione di L(A) vale 3 e una base per L(A) è data da

B = {(1, 0, 0, 3), (0, 1, 1, −2), (0, 0, 1, 1)}.