Dimensione e base di uno spazio vettoriale assegnato

∈ {(k − − −2,

Sia k e sia A = 1, 0, 2, k + 1), (1, k 1, 0, k + 2), (0, 1, 1), (0, 0, k, k)}. Sia L(A)

R ∈

la chiusura di A. Calcolare la dimensione di L(A) al variare di k e determinare una base

R

per L(A). Nel caso k = 1 determinare equazioni cartesiane e parametriche per L(A); dire infine

− ∈

se (1 2, 4, 7) L(A).

Si ha

Soluzione.

−

k 1 0 2 k +1 −

− k 1 0 2

k 1 0 k +1

−

1 k 1 0 k +2 −

−

−k 1 k 1 0

1 k 1 k +2 =

+ k

=

−2

0 1 1 −2

−2 −1 0 1

0

0 0 k k 2

−

= 2k(1 k )

per cui il rango della matrice 

 −

k 1 0 2 k +1

−

1 k 1 0 k +2

0 



A = 

 −2

0 1 1 

 0 0 k k

6 6 6 −1;

è 4 se k = 0, k = 1 e k = in tal caso la dimensione di L(A) è 4 e A è una base per L(A). Se

0

k = 0 la matrice A diventa 

 −1 0 2 1

−1

1 0 2

0 



A = 

 −2

0 1 1 

 0 0 0 0

×

che ha come minore non singolare il minore 3 3 dato da

−1 0 2 −1

−1 1

0

−1 −3.

−1

1 0 =

+2

= −2

−2 0

1

−2

0 1 0

Nel caso k = 0 si ha dunque che A ha rango 3, per cui L(A) ha dimensione 3 ed una base per

L(A) è data da {(−1, −1, −2,

B = 0, 2, 1), (1, 0, 2), (0, 1, 1)}.

0

Se k = 1 la matrice A diventa  

0 0 2 2

1 0 0 3

0  

A =  

−2

0 1 1

 

0 0 1 1

che ha ancora rango 3 dal momento che

1 0 0

−2 −2.

0 1 =

0 0 1

In tal caso la dimensione di L(A) vale 3 e una base per L(A) è data da

{(1, −2,

B = 0, 0, 3), (0, 1, 1), (0, 0, 1, 1)}.

0

−1

Infine nel caso k = la matrice A diventa

 

−2 0 2 0

−2

1 0 1

0  

A =  

−2

0 1 1

 

−1 −1

0 0

1