Derivate seconde per funzioni a più variabili

Derivate seconde

Sia \( f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \), \( \bar{x} \in \text{Int}(A) \). Supponiamo esista \( \frac{df}{dx_i} \) in un intorno di \( \bar{x} \). Se la derivata parziale \( \frac{df}{dx_i} \) è ulteriormente derivabile rispetto alla variabile \( x_j \) con \( j \in \{1, \ldots, m\} \) si ottiene la derivata seconda di \( f \) rispetto a \( x_i \) e \( x_j \).

Si scrive:

\[ \frac{d}{dx_j} \left( \frac{df}{dx_i} \right) (x) = \frac{d^2f}{dx_j \, dx_i} (x) = d^2_{x_j x_i} f(x) \]

In particolare:

• Se \( i = j \), \( \frac{d^2f}{dx_i^2} (x) \) si dice derivata seconda "pura"
• Se \( i \neq j \), \( \frac{d^2f}{dx_j \, dx_i} (x) \) si dice derivata seconda "mista"

Definizione

A aperto, \( f: A \subseteq \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} \) si dice di classe \( C^2 \) su \( A \) se ammette derivate parziali continue fino all'ordine 2.

Teorema di Schwartz

Sia \( f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \), A aperto, \( f \in C^2(A) \), allora le derivate seconde miste coincidono in ogni punto \( \bar{x} \in (A) \).

\[ \frac{d^2f}{dx_j \, dx_i} (x) = \frac{d^2f}{dx_i \, dx_j} (x) \, \, \forall x \in A \]

Esempio

\( f(x_1,x_1) = \log(x^2_1 - 4) \). Calcolare derivate parziali fino al 2° ordine.

\( \text{dom}f = \{(x_1, t) \in \mathbb{R}^2 / x^2 - 4 > 0\} \)

• \( d_{x_1} f(x_1) = \frac{2x}{x^2-4} \)
• \( d_{y} f(x_1) = -\frac{1}{x^2-4} \)

Seconda parte delle derivate seconde

Sia \( f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \), \( x \in \text{Int}(A) \). Supponiamo esista \( \frac{df}{dx_i} \) in un intorno di \( x \). Se la derivata parziale \( \frac{df}{dx_i} \) è ulteriormente derivabile rispetto alla variabile \( x_j \) in \( x \), \( j \in \{1,...,n\} \), si ottiene la derivata seconda di \( f \) rispetto a \( x_i \) e \( x_j \).

Si scrive:

\[ \frac{d}{dx_j}\left(\frac{df}{dx_i}\right)(x) = \frac{d^2f}{dx_jdx_i}(x) = d_{x_jx_i}^2 f(x) \]

In particolare:

• Se \( i = j \), \( \frac{d^2 f}{dx_i^2}(x) \) si dice derivata seconda "pura".
• Se \( i \neq j \), \( \frac{d^2 f}{dx_jdx_i}(x) \) si dice derivata seconda "mista".

Definizione

A aperto, \( f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \) si dice di classe \( c^2 \) su \( A \) se ammette derivate parziali continue fino all'ordine 2.

Teorema di Schwartz

Sia \( f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \), A aperto, \( f \in C^2(A) \), allora le derivate seconde miste coincidono in ogni punto \( x \in \text{Int}(A) \).

\[ \frac{d^2f}{dx_jdx_i}(x) = \frac{d^2f}{dx_idx_j}(x) \ \forall x \in A \]

Esempio

\( f(x_1, x_2) = \log(2x_2^2 - x_1^2) \). Calcolare le derivate parziali fino al 2° ordine.

\(\text{dom}f = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 / x_2^2 - x_1^2 > 0\}\)

• \( d_{x_1}f(x_1) = \frac{2x}{x^2 - 4} \)
• \( d_{y_1}f(x_1) = -\frac{1}{x^2 - 4} \)

d_xx(d_xf(x,u)) = ^2x2-2y-4x2/_(x²-u)²

d_yu(d_yf(x,u)) = - ¹/_(x²-u)²

d²_xuf(x,u) = ^2x/_(x²-u)²

d²_yuf(x,u) = ^2x/_(x-u)²

f ∈ C²(A), per il teorema di Schwarz le derivate miste coincidono, come si può vedere.

Esempio

f(x,u) = |x| su IR²

d_f(0,0)/d_x non esiste, ma d_f(x,u)/d_u(x,u) = 0 ∀(x,u)

Possiamo calcolare d/d_x(d_f/d_u)

d²f(0,0)/d_xd_u = 0 mentre d²f(0,0)/d²_ud_x non esiste perché non esiste d_f(0,0)/d_x.

Matrice hessiana

Supponiamo f:A∈R^v → RȲ ∈ Int(A) ammetta derivate parziali seconde in x̄.

Allora possiamo definire la matrice Hessiana di f in x̄. H_f(x̄):

\(d^2f(x̄)/d^2_{x_1}\)	\(d^2f(x̄)/d_{x_1}d_{x_2}\)	...	\(d^2f(x̄)/d_{x_1}d_{x_n}\)
\(d^2f(x̄)/d_{x_2}d_{x_1}\)	\(d^2f(x̄)/d^2_{x_2}\)	...	\(d^2f(x̄)/d_{x_2}d_{x_n}\)
...	...	...	...
\(d^2f(x̄)/d_{x_n}d_{x_1}\)	\(d^2f(x̄)/d_{x_n}d_{x_2}\)	...	\(d^2f(x̄)/d^2_{x_n}\)

Se supponiamo A aperto, f ∈ C²(A), allora vale il teorema di Schwartz.

d²f/d_xid_xj = d²f/d_xjd_xi ∀ x̄ ∈ A,

H_f(x̄) è una matrice m×n simmetrica (C_ij = f_ji simmetrico ⇔ Cij = C_ji ∀ i, j = 1, ..., n).