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Esercizi svolti sullo
Data la funzione p
f (x, y) = |xy|
a) determinare il dominio specificando se è limitato, connesso per archi, aperto, o chiuso;
b) dire se f è continua in (0, 0);
c) dire se esistono le derivate parziali di f in (0, 0);
d) dire se f è differenziabile in (0, 0).
2
Il dominio di f è , il quale è sia aperto sia chiuso, illimitato e connesso per
R
soluzione.
archi.
f è continua dappertutto, poichè composizione di funzioni continue.
Si ha f (t, 0)
∂f (0, 0) = lim =0
∂x t
t→0
e ∂f f (0, t)
(0, 0) = lim =0
∂y t
t→0
quindi le derivate parziali di f in (0, 0) esistono e sono nulle.
Il differenziale, se esiste, dovrebbe essere l’applicazione nulla, ma il limite
f (x, y) − f (0, 0)
lim p 2 2
+ y
x
|(x,y)|→0
non esiste, in quanto, procedendo come al solito, lungo le direzioni y = mx assume valori
dipendenti da m. Quindi f non è differenziabile in (0, 0).
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