Data la funzione p
f(x, y) = |xy|
a) Determinare il dominio specificando se è limitato, connesso per archi, aperto o chiuso;
b) Dire se f è continua in (0, 0);
c) Dire se esistono le derivate parziali di f in (0, 0);
d) Dire se f è differenziabile in (0, 0).
Soluzione
Il dominio di f è R2, il quale è sia aperto sia chiuso, illimitato e connesso per archi.
f è continua dappertutto, poiché composizione di funzioni continue.
Si ha f(t, 0)
∂f(0, 0) = lim f(t, 0) / t = 0
∂x t→0
e ∂f(0, 0) = lim f(0, t) / t = 0
∂y t→0
quindi le derivate parziali di f in (0, 0) esistono e sono nulle.
Il differenziale, se esiste, dovrebbe essere l’applicazione nulla, ma il limite
lim [f(x, y) − f(0, 0)] / √(x2 + y2)
|(x, y)| → 0
non esiste, in quanto, procedendo come al solito, lungo le direzioni y = mx assume valori dipendenti da m. Quindi f non è differenziabile in (0, 0).
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