Teoria sulle derivate elementari - Tesina per scuola media

Derivata

Derivata, derivare de rivus.

(Dal latino: = da, -- ruscello, quindi creare un nuovo corso).

In analisi la derivata è una funzione dedotta in un modo ben definito da un'altra funzione. Per definire il concetto di derivata bisogna prima seguire uno schema:

1) Si fissa il concetto di incremento, ad esempio positivo (detto destro) di una grandezza variabile X.

Se per esempio abbiamo una grandezza X, questa subirà un incremento per passare alla grandezza X₀ = X + ΔX.

(Es. 4 è la grandezza, 2 è l'incremento, la grandezza che si ottiene è 6 = 4 + 2).

2) Se la grandezza variabile X, detta indipendente, è legata ad un'altra grandezza Y, detta dipendente, mediante la funzione Y = f(X), ad ogni incremento ΔX della X anche la Y subirà una variazione ΔY (passando da f(X₀) a f(X₀ + ΔX)).

Dunque ΔY = f(X₀ + ΔX) - f(X₀) e ΔX = X - X₀.

3) Il rapporto

ΔY = f(X₀ + ΔX) - f(X₀)

ΔX X - X₀

è detto rapporto incrementale destro (se ΔX è positivo) o sinistro (se ΔX è negativo).

3) Facendo tendere ΔX a zero, tale rapporto tende ad un valore limite quando esiste, ben determinato, ancora in funzione di X₀, che si dice derivata della funzione Y = f(X) nel punto X₀, e che si indica con i seguenti simboli:

f'(X₀), Y', df/dx, dy/dx

Derivata della funzione f(X) o Y rispetto a X.

e si legge:

Dunque:

f'(X₀) = lim ΔY = f(X₀ + ΔX) - f(X₀)

ΔX->0

ΔX X - X₀

Regole pratiche

Fino ad ora potrebbe sembrare che il calcolo delle derivate sia legato alla risoluzione di mostruosi limiti di funzioni algebriche. Per fortuna esistono piccole regole che, una volta imparate, ci permettono un rapido calcolo delle più comuni funzioni che potrai incontrare.

Fino ad ora dovrebbe esser chiaro che la derivata permetta la trasformazione di una funzione di partenza in un'altra.

Es. la derivata di

È semplicemente:

y = x³ + 4x²

y' = 3x² + 8

Come ho fatto?

Praticamente devi prendere l'esponente delle lettere e moltiplicarlo per il loro coefficiente. L'esponente della lettera sarà quindi diminuito di un'unità.

Quindi nella prima equazione, l'esponente del primo termine è 3, il coefficiente è 1, 3 x 1 = 3; l'esponente da 3 diventa 2 nella 2° equazione.