Derivate 5

Calcolare

_limx→0⁺ x^α log x, x > 0.

Soluzione. Il limite dato si presenta in forma indeterminata 0 · ∞; lo riscriviamo come

limx→0+ log x/x−α

la quale stavolta è una forma indeterminata ∞/∞. Posto f(x) = log x e g(x) = x^−α, si ha

^f′(x)/_g′(x) = ¹/_{−αx^−α−1} = ¹/_αx^−α = ¹/_αx^α

la quale tende a 0 per x → 0⁺. Per il Teorema di de l'Hôpital allora

_limx→0⁺ x^α log x = 0.