Definizioni Analisi Matematica I

Definizioni funzione

Siano (X, Y, β). Associa ad ogni elemento di X uno e un solo elemento del sec. di Y.

Si dice iniettiva se ad elementi distinti di X associa elementi distinti di Y.

Si dice suriettiva se ogni elemento del secondo insieme Y è cod., opporre può si almeno un elemento del primo insieme X.

Se assegniamo a (X, Y, β) f(x): ∀ y ∈ Y: ∃ x ∈ X: y = f(x)

f: g e suoti suriezive ⇒ f: g ⊆ Y e f χ si dice biettive

Successione numerica

Diciamo successione numerica ogni funzione del tipo p: ℕ → ℝ n ∈ ℕ (pn) = a_n + p₀ a_n in numero reale associato al numero naturale n (a_n)_n ∈ ℕ

Una successione si dice definitivamente costante ∈ n ∈ ℕ: a_m = a_n ∀ n₀

Una successione si dice stabilizzata se:

• ∃ n₀ ∈ ℕ: a_n = A ∀ n⁽¹⁾
• ∀ j ∈ ℕ ∃^-∞ ℕ_j: A_j^{a_n(∶) ∈ ℕ} (n_j)^u₀ f_nj > V₃;

a_n = x_a indice interno

Numeri complessi

Si chiamano numero complesso una qualunque coppia ordinata a, b di numeri reali.

Maggiore

Sia X ⊆ ℝ. Un numero reale k si dice maggiorante di X se ≤ k ∀ x ∈ X.

Un numero reale h si dice minorante di X se h ≤ ∀ x ∈ X.

Massimo

Sia A ⊆ ℝ HeR è massimo di A se:

• ∀ x ∈ A, 4 è maggiorante
• H ∈ A

Minimo

He si dice minimo di A se:

• u ⊆ a ∀ x ∈ A − minorante
• u ∈ A

Definizioni funzione

Siano (X, Y, f). f associa ad ogni elemento di X uno e un solo elemento del sec. di Y.

f si dice iniettiva se ad elementi distinti di X associa elementi distinti di Y.

f si dice suriettiva se ogni elemento del secondo insieme Y è corrispondenza associato ad almeno un elemento del primo insieme X.

Se assegnata a (X, Y, f) f: _X → _Y: ∃ ! x ∈ X: y = f(x)

fugf è un sottinsieme → fugf ⊆ Y e f si dice biiettiva

Successione numerica

Diciamo successione numerica ogni funzione del tipo f: IN → R n ∈ IN → f(n) = a_n = u_n + v_n

a_n numero reale associato al numero naturale n (a_n)_n ∈ IN

Una successione si dice definitivamente costante se ∃ F ∃ 0 j con IN: a_n = A₀

Una successione si dice stabilizzata se:

• ∃ n₀ A_n + lim a_A = A (A_n + lim) ∀ j ∈ IN ∃ j ∈ IN: A_j = (^a∼_n0(An), n₀ → ∞)) f: x → y:

Numeri complessi

Si chiamano numero complesso una qualunque coppia ordinata (a, b) di numeri reali.

Maggiore e minore

Supponiamo X ⊆ R. Un numero reale k si dice maggiorante di X se x ≤ k ∀ x ∈ X.

Un numero reale h si dice minurante di X se x ≥ k ∀ x ∈ X.

Massimo

Sia A ⊆ R M ∈ R è massimo di A se:

• Tra i reali è il maggiorante
• M ∈ A

Minimo

m si dice minimo di A se:

• m ∉ a ∀ a ∈ A - minurante
• m ∈ A

Insiemi limitati

Un insieme X si dice limitato superiormente se esistono maggiori reali di X. Si dice limitato inferiormente se esistono minori reali.

Un insieme X si dice limitato se esso è limitato sia superiormente che inferiormente.

Insiemi separati

Se sup A ≤ inf B allora A e B sono separati.

a ∈ A, b ∈ B.

Insiemi contigui

Se sup A = inf B allora A e B sono contigui.

A e B non contigui ≡ sono separati (a ∃ z > 0 ∃ a₂ ∈ A, b₂ ∈ B b₂ - a₂

Dim.

Supponiamo che A e B sono contigui quindi sup A = inf B ⇒ A e B non sono separati.

Fissiamo z > 0 e consideriamo z / 2 > 0.

Per la seconda proprietà del sup, ∃ a₃ ∈ A: a₃ > sup A - z / 2.

Per la seconda proprietà del sup, ∃ b₃ ∈ B: b₂ > sup B - z / 2.

b₂ - a₂ = z / 2 = z ⇒ b₂ - a₃

Sia f: A → B arbitraria e ora C un sottoinsieme non vuoto di A.

Si definisce funzione restrizione di f a C la legge che ad ogni x ∈ C (∈ A) associa l'elemento f(x) ∈ B: f_C(x) = f(x) x ∈ C.

Stando A, B e