Cubiche e affinità  nel piano

Cubiche e affinità nel piano

Francesco Daddi

Marzo 2009

Vogliamo dimostrare che, assegnata una qualsiasi coppia di funzioni cubiche, esiste un’affinità che trasforma l’una nell’altra. È possibile collegare questo fatto con la scelta di un opportuno sistema di riferimento cartesiano.

1. Riduzione alla forma canonica

Data la funzione cubica

y = ax³ + bx² + cx + d con a ≠ 0, (1)

cerchiamo una trasformazione affine ϕ del tipo

x′ = x + h

ϕ : y′ = λx + μy + k

tale che la cubica (1) sia trasformata nella cubica fondamentale, la cui equazione è detta anche forma canonica:

y′ = (x′)³. (3)

Sostituendo le formule (2) nell’equazione (3) troviamo

λx + μy + k = (x + h)³

ricavando la y otteniamo:

y = 1/μ x³ + 3h/μ x² + (3h² − λ)/μ x + (h³ − k)/μ

uguagliando termine a termine con la (1) si ottiene un sistema che può essere risolto con la tecnica “a cascata” (vengono calcolati nell’ordine μ, h, λ, k):

μ = 1/a

h = b/(3a)

λ = (b² − 3ac)/(3a²)

k = (b³ − 27a²d)/(27a³)

⇒ (4)

In definitiva le equazioni dell’affinità sono le seguenti:

x′ = x + b/(3a)

ϕ : y′ = (b² − 3ac)/(3a²) x + y/a + (b³ − 27a²d)/(27a³). (5)

2. Dalla forma canonica alla forma generale

Osservazione 1. Poiché il punto F di flesso della cubica y = ax³ + bx² + cx + d ha coordinate

F = (−b/(3a); (2b³ − 9abc)/(27a²) + d), (6)

dalle formule (5) deduciamo che l’immagine di F mediante l’affinità ϕ è l’origine delle coordinate.

Esempio 2

Determiniamo le equazioni dell’affinità ϕ che trasforma la cubica y = x³ + 12x² + 45x + 55 nella cubica y = (x′)³.

Figura 1: L’affinità ϕ trasforma la cubica di equazione y = x³ + 12x² + 45x + 55 nella cubica y = (x′)³.

Dalle formule (5) ricaviamo direttamente le equazioni dell’affinità:

x′ = x + 4.

ϕ : y′ = 3x + y + 9.