Criteri di convergenza: confronto e confronto asintotico con dimostrazione ed esempi

Criteri di convergenza

Valgono per funzioni positive f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0.

Teorema: criterio del confronto

Se f(x) ≤ g(x), allora ∫_a^+∞ f(x) dx ≤ ∫_a^+∞ g(x) dx.

In particolare:

• Se ∫_a^+∞ g(x) dx converge ⇒ ∫_a^+∞ f(x) dx converge.
• Se ∫_a^+∞ f(x) dx diverge positivamente ⇒ ∫_a^+∞ g(x) dx diverge positivamente.

Oss. Un criterio analogo vale per tutti i tipi di integrali impropri.

Dim. Da f(x) ≤ g(x) segue che ∫_a^K f(x) dx = ∫_a^K g(x) dx, (K > a) dalla proprietà di monotonia dell'integrale definito.

Poiché vale questa disequazione possiamo passare al limite e per il teorema del confronto, si ha: ∫_a^+∞ f(x) dx = lim (K → +∞) ∫_a^K f(x) dx ≤ lim (K → +∞) ∫_a^K g(x) dx = ∫_a^+∞ g(x) dx.

Criteri di convergenza

Valgono per funzioni positive f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0.

Criterio del confronto

Se f(x) ≤ g(x), allora ∫_a^+∞ f(x) dx ≤ ∫_a^+∞ g(x) dx.

In particolare:

• Se ∫_a^+∞ g(x) dx converge ⇒ ∫_a^+∞ f(x) dx converge.
• Se ∫_a^+∞ f(x) dx diverge positivamente ⇒ ∫_a^+∞ g(x) dx diverge positivamente.

Oss. Un criterio analogo vale per tutti i tipi di integrale improprio.

Dim. Da f(x) ≤ g(x) segue che ∫_a^K f(x) dx ≤ ∫_a^K g(x) dx, (K > a), dalla proprietà di monotonia dell'integrale definito.

Poiché vale questa disequazione possiamo passare al limite e per il teorema del confronto si ha: ∫_a^+∞ f(x) dx = lim_{K → +∞} ∫_a^K f(x) dx ≤ lim_{K → +∞} ∫_a^K g(x) dx = ∫_a^+∞ g(x) dx □

Funzioni asintoticamente equivalenti

f(x) ∼ g(x) (x → x₀) def ⇔ lim_{x → x0} f(x)/g(x) = 1.

x ≃ x₀ ⇒ f(x)/g(x) ≃ 1 ⇒ f(x) ≃_x0 g(x).

Esempi

• Sen x ∼ x (x → 0).
• 3x² ∼ 3x² - x + 1 (x → +∞).
• √(x + x³) ∼ √x (x → 0⁺).

lim_{x → 0⁺} x/√(x + x³) = lim_{x → 0⁺} x/√x³ = lim_{x → 0⁺} x/√(4 + x²) = 1.

Teorema (criterio del confronto asintotico)

Vale per funzioni positive.

f(x) ∼ g(x) (x → +∞) ⇔ ∫_a^+∞ f(x) dx ∼ ∫_a^+∞ g(x) dx convergono o divergono entrambi.

Oss. Un criterio analogo vale per tutti i casi di integrale improprio.

Dim. Poiché per ipotesi: lim_{x → +∞} f(x)/g(x) = 1, si ha che: ∀ ε > 0, ∃K > 0 t.c. se x > K ⇒ |f(x)/g(x) - 1| ⇒ -ε poiché abbiamo funzioni positive: (1-ε)g(x). In particolare per ε = 1/2 ∃ K > 0 t.c. se x > K ⇒ 1/2 g(x). Possiamo ora utilizzare il criterio del confronto:

• Se ∫_a^+∞ g(x) dx converge ⇒ ∫_a^+∞ 3/2 g(x) dx converge,

poiché per x > K ⇒ f(x) a^+∞ f(x) dx converge.

2) Se ^a∫_+∞ q(x) dx diverge, allora ^a∫_+∞ ¹⁄₂ q(x) dx diverge poiché per ∀ x > K → ¹⁄₂ q(x) < f(x), risulta che: ^a∫_+∞ f(x) dx diverge positivamente (per il criterio del confronto).

Oss. Se f è una funzione di segno variabile, allora: ^a∫_+∞ |f(x)| dx ≤ ^a∫_+∞ |f(x)| dx.

In particolare, se: ^a∫_+∞ |f(x)| dx converge, allora → ^a∫_+∞ f(x) dx converge.

Dunque in presenza di funzioni di segno variabile, si considera il valore assoluto poiché rende la funzione positiva e quindi sono applicabili i criteri di convergenza fatti precedentemente.

Esempio

¹∫_+∞ ¹⁄_{√x³ + 1}

Per confronto: √x³ + 1 > √x³ → ¹⁄_{√x³ + 1} < ¹⁄_√x³.

¹∫_+∞ ¹⁄_√x³ dx = ¹∫₁ x^-3⁄₂ dx → converge per il criterio del confronto: ¹∫₁∫_+∞ ¹⁄_{√x³ + 1} dx converge.

In alternativa: ¹⁄_{√x³ + 1} ~ ¹⁄_√x³ (x → +∞) con ant. osc. ¹∫_+∞ ¹⁄_{√x³ + 1} dx ~ ¹∫_+∞ ¹⁄_√x³ dx converge ← converge.

2

∫₀^{+∞ 1}/_{x⁴ + x²} dx.

x⁴ + x² > x⁴ ⇒ ¹/_{x⁴ + x²} < ¹/_x⁴.

∫₀^{+∞ 1}/_x⁴ dx 0^{+∞ 1}/_{x⁴ + x²} dx converge.

3

∫₂^{+∞ log x}/_x dx.

x > 2 ⇒ log x > log 2 ⇒ ^{log x}/_x > ^{log 2}/_x.

∫₂^{+∞ log x}/_x dx > ∫₂^{+∞ 1}/_x dx diverge pos.

4

∫₀^{1 1}/_{√x + x⁵} dx.

(lim _{x → 0⁺} ¹/_{√x + x⁵} = +∞)

¹/_{√x + x⁵} ~ ¹/_√x (x → 0⁺).

∫₀^{1 1}/_{√x + x⁵} dx ~ ∫₀^{1 1}/_√x dx converge.

5 Funz. di segno variabile

∫₀^{1 sin (1/_x)}/_x^3/2 dx = ∫₀¹ |sin (¹/_x)| dx.

|sin (¹/_x)| ≤ 1 ⇒ |sin (¹/_x)| ≤ ¹/_x^3/2.

∫₀¹ |sin (¹/_x)| dx ≤ ∫₀^{1 1}/_x^3/2 dx converge.