Corso completo meccanica dei fluidi

Prodotti

Prodotto scalare a·b = a_ib_i

Prodotto vettoriale \(\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b} = a_{i} b_{j} \hat{i} \hat{j} \hat{k}\) (vettore colonna)

Prodotto misto \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \wedge \overrightarrow{c} = a_{i} b_{j} c_{k} \hat{i} \hat{j} \hat{k}\) (vettore colonna)

Operatore nabla

\(\nabla = \left( \dfrac{d}{dx}, \dfrac{d}{dy}, \dfrac{d}{dt} \right)\) operatore nabla

\( \nabla a = \dfrac{da \hat{i}}{dx_{i}} \) gradiente di uno scalare → vettore

\( \nabla \cdot \overrightarrow{a} = \dfrac{da_{i}}{dx_{i}}\) divergenza di un vettore → scalare

\((\nabla \overrightarrow{a})\text{:}\text{=}\sum \dfrac{da_{i}}{dx_{i}}\) gradiente di un vettore → tensore (elemento riga, colonna T)

\(\nabla \times \overrightarrow{a} = \dfrac{da_{i} \hat{j}}{dx_{i}}\) divergenza di un tensore → vettore

Teorema della divergenza

\( \int_{W} \nabla \cdot \overrightarrow{a} \, dW = \int_{W} \dfrac{da_{i}}{dx_{i}} \, dW = -\int_{A} a_{i} \hat{n}_{i} \, dA = -\int_{A} \overrightarrow{a} \cdot \hat{n} \, dA =\) > scalare

Teorema del gradiente

\( \int_{W} \nabla a \, dW = \int_{W} \dfrac{da_{i} \hat{j}}{dx_{i}} \, dW = -\int_{A} a_{n} \hat{i} \hat{n}_{i} \, dA = -\int_{A} a \hat{n} \, dA =\) > vettore

Meccanica del continuo

Ogni punto di una fibra non è solo vuoto nel fluido, ogni punto di una matrice può essere definito da funzioni continue.

Pressione

Pelle per superficie

Equilibrio dinamico \(\Sigma F_{\text{premie}} = \Sigma F_{\text{volume}} + \Sigma F_{\text{superficie}}\)

a = 0 quieto o moto uniforme = ma = inerzia \( ( \alpha = *'\rho'\text{in relazione)} \)

Vettore normale \(\hat{n}\) convenzionalmente con il verso esterno nel volume fluido.

Sforzo \(T_{n} = \lim \dfrac{dF_{S}}{dA \to dA}= \)

• Sforzo normale
• Sforzo tangenziale

(Sono le componenti dei vettori) (nate in alto sulle due)

Prodotti

Prodotto scalare a̅·b̅ = a_ib_i

Prodotto vettoriale a̅∧b̅ = a_ib_j^ijk (vettore colonna)

Prodotto misto a̅·b̅ = a_ib_j^ijk (vettore colonna)

Operatore nabla

∇ = (d/dx, d/dy, d/dt) operatore nabla

∇a = da_i/dx_i gradiente di uno scalare -> vettore

∇·a̅ = da_i/dx_i divergenza di un vettore -> scalare

(∇a̅)_i= da_j/dx_i gradiente di un vettore -> tensore _{cerchiamo riga,colonna →}

∇·a̅ = da_i/dx_i divergenza di un tensore -> vettore

Teorema della divergenza

∫_W ∇·a̅ dw = ∫_W da_i/dx_i dw = - ∫_A a_in_idA = - ∫_A a̅·n̂ dA -> scalare

Teorema del gradiente

∫_W ∇a dw = ∫_W da_i/dx_i dw = - ∫_A a n^î'dA = - ∫_A ân̂ dA -> vettore

Meccanica del continuo

Dal punto di vista fisico non ci sono vuoti nei fluidi, dal punto di vista matematico può essere descritto da funzioni continue.

_volume superficie

Equilibrio dinamico -> ΣF_estn_e = ΣF_volume + ΣF_superficie

a = 0 quiete o moto uniforme = ma = inerzie_{(α* 1'propioscienza')'}

Vettore normale n̂ concordemente con uno entrante nel volume fluido.

• Frizo normale
• Frizo tangenziale

Sforzo F̅_n = lim ΔF_s/ΔA -> dA_{sconto le componenti (moi attori) nello sforzo}

_S=∫_AΦ_ndA⃗ =D con pressione o "tensione" ( > 0 )

Le componenti isotropo degli effetti normali viene chiamata pressione la cui azione da orientamento superficiale, quindi non comportamento in tutte le direzioni spaziali.

Proprietà dei fluidi

Densità

Densità_H2O=1000 Kg/m³=(p,T)= M/V [Kg/m³]

ρ=cost massa costante (volume = densità)=_mol/RT

Gas perfetti V=nRT ma n=M/M_mol

Peso specifico

Peso specifico γ=g [N/m³]

Peso (=forza peso) specifico al volume

Comprensibilità

Comprensibilità

Proprietà del fluido di cambiare volume (densità) a variabile aurea pressione

E_H2O=2⋅10⁹ Pa

ΔP → ΔW (Pa=N/m²)

ε (MPa)

Se T=con (condizioni isoterme) ΔW= -1/E ΔP W

∫→+∞ → fluido incomprensibile

dW/W = - dP/ε

d(V)=0 = ρdW+d

Condizioni isorie ρW=con

Se ε→