Controlli Automatici (Appunti + Esercizi + Esercizi d'esame svolti)

Assegnato un certo processo fisico

Assegnato un certo processo fisico lo scopo dei controlli è quello di progettare dei controllori che devono guidare il processo fisico in maniera tale che quest’ultimo si comporti in un determinato controllore fisico legge di controllo processo fisico disturbi grandezza da controllare retroazione.

e(t) e y(t) sono e z(t) sono vettori.

y_d(t) è la grandezza desiderata, cioè quella che si vorrebbe ottenere e(t) = y(t) - y_d(t).

Errore lim_t→∞ e(t)=0 disturbo disturbo sistema non lineare tracking disturbance rejection asymptotic stability.

Assegnato un certo processo fisico lo scopo dei controlli è quello di progettare dei controllori che devono guidare il processo fisico in maniera tale che quest’ultimo si comporti in un determinato modo.

(t) e y(t) sono x(t) sono vettori.

y_d(t) è la grandezza desiderata, cioè quella che si vorrebbe ottenere.

e(t) = y(t) - y_d(t)

e(t)

lim_{t → ∞} e(t) = 0

Dimensioni e variabili

A = m x m

B = m x ρ

ρ = m x q

C = q x m

D = q x ρ

Q = q x ρ

x(t) = m x 1

u(t) = ρ x 1

z(t) = x x 1

y(t) = q x 1

Sistema non lineare

Tracking

Disturbance rejection

Asymptotic stability

Dal processo fisico al controllore fisico

Processo fisico

• Identificazione delle grandezze da controllare y(t)
• Identificazione delle grandezze controllanti u(t)
• Identificazione dei disturbi z(t)
• Identificazione delle specifiche progettuali

Modellizzazione del processo nel tempo

Modellizzazione del processo in Laplace

Scelta dello schema di controllo

• Progetto del controllore in "t" (assemblea "s" o "t")
• Progetto del controllore in "s"

Controllore fisico

Schema nel dominio di Laplace

• P(s) funzione di trasferimento ingresso-uscita
• M(s) funzione di trasferimento disturbi-uscita
• G(s) funzione di trasferimento del controllore

y(s) = y₁(s) + y₂(s)

y₁ = P(s) u(s)

y₂ = M(s) x(s)

- x(t) = y_d(t)

- e(t) = x(t) - y(t)

Schema nel dominio del tempo

Controllore

ś(t) = Fś(t) + G e(t)

u(t) = Hś(t) + L e(t)

Processo

ż(t) = A x(t) + B u(t) + P₂(t)

y(t) = C x(t) + D u(t) + Q ż(t)

N.B. Il sistema complessivo deve essere asintoticamente stabile.

Grandezze e relazioni

yd = B target

y(t) = B(t)

R(t) = B_in(t) - B_out(t)

R_in(t) R_out(t)

u(t) = R_out(t)

z(t) = R_in(t)

e(t) = y(t) - y_d(t)

x(t) = B₀(t)

ẋ(t) = ż(t) - C_b(t)

ẋ(t) = ^{A 0}_B x(t) + ⁰_B + ²_Q

y(t) = s(t)

spazio (posizione) → grandezza controllata

u(t) = F_c(t)

forza (controllore) → grandezza controllante

z(t) = F_t(t)

attrito viscoso → disturbo

S_d(t)

Ω(t) = s(t) - s_d(t)

v(t) a_Φ(t)

F_c(t) - G ℱ (t) - F_t(t) = m a_O(t)

Sommatorio forze esticato

Variabili di stato

X₁(t) = s(t)

X₂(t) = s(t)

Variabili di stato diagonale

X₁(t) = X₂(t)

X₂(t) = (u(t))/m + (ξ/m) X₂(t) = ξ(t)/m

_{⎡X1(t)⎤ ⎡0 1⎤ ⎡X1(t)⎤}

_{⎣X2(t)⎦ = ⎣0 -b/m⎦ ⎣X2(t)⎦ + ⎡0 ⎤ u(t) + ⎡0 ⎤ ξ(t)}

A B y(t) = X₁(t)

y(t) = (λ 0) ⎡X₁(t)⎤ + 0 u(t) + 0 z(t) ⎣X₂(t)⎦

C D Q

Regole di trasformazione

a β₁(t) + b β₂(t) → a β₁(s) + b β₂(s)

∫ β(t)dt → β(s) ∫₀^t β(σ)dσ → β(s)