Considerazioni sulle equazioni algebriche di grado n

Considerazione sulle equazioni algebriche di grado n

Il presente articolo vuole presentare un punto di vista diverso dal convenzionale in merito alle equazioni algebriche di grado n.

Descrizione

Sia data la seguente equazione algebrica di grado n generica:

n n-1

σf ·x σf ·x σf

(1) x – – … – – = 0

0 n-2 n-1

e sia f(x)∈ℝ una funzione reale definita nel seguente modo:

∀x∈N ∩

f(x) = 1 x<n

(2.1) f(x) = ∑ σf ·f(x-j) ∀x∈N ∩

f(x) = x≥n

j=1..n j-1

·f(x-1) σf ·f(x-2) σf ·f(x-n)

σf + + … +

(2.2) f(x) = 0 1 n-1

È possibile affermare che la principale soluzione dell’equazione (1) è data dalla seguente relazione:

(3) x = lim [f(x) / f(x-1)]

x→+∞

Dimostrazione

Vogliamo raggiungere la relazione (1) ipotizzando vera la relazione (3).

Hp: relazione (3)

Th: relazione (1)

Nota

Per l’Hp possiamo facilmente verificare la validità delle seguenti due relazioni:

∀k∈N

(4) lim [f(x-k) / f(x-k-1)] = lim [f(x) / f(x-1)]

(x→+∞) (x→+∞)

k ∀k∈N

= lim [f(x) / f(x-k)]

(5) x (x→+∞)

Per la (2.2), la relazione (3) risulta:

·f(x-1) σf ·f(x-2) σf ·f(x-n)]

x = lim { [σf + + … + / f(x-1) }

(x→+∞) 0 1 n-1 1

scomponendo la frazione, applicando la proprietà di scomposizione del limite di una somma lim(a+b) = lim(a) + lim(b) e applicando le relazioni (4) e (5) otteniamo: n-1

σf σf

σf + /x + … + /x

x = 0 1 n-1

n-1

Il m.c.m. è x e portando tutti i termini al primo membro otteniamo:

n n-1

σf ·x σf ·x σf

x – – … – – = 0

0 n-2 n-1

che è proprio l’equazione (1).

C.V.D.

Esempi numerici

Esempio 1

Esempio 1: 2 – x – 1 = 0

equazione: x

basi: f(0) = 1, f(1) = 1

funzione: f(x) = 1·f(x-1) + 1·f(x-2)