Compito in classe II liceo scientifico: equazioni di secondo grado

Compito di matematica classe II liceo scientifico

Maggio 2009

1. Equazione

Risolvi la seguente equazione.

1. (x² − 25) − (2x − 1) / 9 + 3 = 3

2. Equazione fratta

Risolvi e discuti la seguente equazione.

2. (x² + x + 2) / (x − 1) + (x − 6) / (x + 1) = (x − 5) / (x² − 1)

3. Equazione letterale

Risolvi e discuti la seguente equazione letterale.

3. (x + 6) / (x² − a²) = 0

4. Equazione parametrica

Determinare il valore di k in modo che l’equazione

4. (kx − k + 1)² − x² − 2k = 0

• Abbia radici opposte.
• Abbia radici uguali.
• Abbia come soluzione 1.

5. Equazione di grado superiore a 2

Risolvi la seguente equazione di grado superiore a 2.

5. x³ − 4x² − 19x − 14 = 0

6. Equazione di grado superiore a 2

Risolvi la seguente equazione di grado superiore a 2.

6. (x⁴ − 5x² + 4) = (x⁴ − 2)(x² + 2)

7. Equazione irrazionale

5. Risolvi la seguente equazione irrazionale.

7. √x − √(x − 5) = 3

8. Problema di geometria

In un triangolo rettangolo un cateto è 6 cm; si costruiscono i tre triangoli equilateri esterni al triangolo rettangolo e aventi per base i lati del triangolo dato. Determinare la lunghezza del cateto incognito sapendo che l’area dell’esagono così ottenuto è 15√3 cm².

Risoluzione della prima equazione

Risolvi la seguente equazione.

1. (x² − 25) − (2x − 1) / 9 + 3 = 3

(x² − 25) − 3(x − 2)² = 3

Moltiplicando per 9 i due membri dell’equazione si ha:

(x² − 25) − 3(x − 2)² = 3

(x² − 25) − 3(x² − 4x + 4) = 3

x² − 25 − 3x² + 12x − 12 = 3

4x² − 12x − 16 = 0

Prima di applicare la formula dividiamo per 4 tutta l’equazione.

x² − 3x − 4 = 0

Applicando la formula risolutiva:

x_1,2 = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a = (3 ± √(9 + 16)) / 2 = (3 ± 5) / 2

x₁ = (3 − 5) / 2 = −2 / 2 = −1

x₂ = (3 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4

Risoluzione della seconda equazione

Risolvi e discuti la seguente equazione.

2. (x² + x + 2) / (x − 1) + (x − 6) / (x + 1) = (x − 5) / (x² − 1)

Scompongo in fattori i denominatori per poi calcolare il m.c.m.

(x² + x + 2) / (x − 1) + (x − 6) / (x + 1) = (x − 5) / ((x + 1)(x − 1))

Il m.c.m. = (x + 1)(x − 1).

x − 1 ≠ 0 → x ≠ 1; x + 1 ≠ 0 → x ≠ −1.