Compito di Analisi per la scuola europea di Luxemburg

Scuola Europea - Luxembourg Prèbac 1995

Matematica (5P.)

Problema 1 - (corto: analisi)

Si consideri la funzione parametrica (parametro reale a) di variabile reale

1

 

a.

f : x x 3 

a x a

3 punti Determinare il parametro a, in modo che f abbia un minimo in x = 1.

A a

Per il seguito del problema si pone a = -2, f = f . Sia F il grafico di f in un

B -2 -2

sistema di riferimento ortonormato xOy.

5 punti Studiare f (dominio, zeri, crescenza, decrescenza, punti estremanti, asintoti) e disegnare F.

Calcolare l’area della parte finita di piano compresa tra F e la retta di equa-

4 punti b) 5



zione.

y 2

12 punti N.B.: Tutti i problemi proposti sono obbligatori!

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Matematica (5P.)

Problema 2 - (corto: analisi)

É data l’equazione differenziale: dy .

y cos2 x

dx

Determinare l’integrale (la soluzione) generale dell’equazione data.

4 punti a) 

4 punti Determinare la soluzione particolare che soddisfa la condizione (dove e

y ( 0

) 2

e

b) é la base dei logaritmi naturali).

Scrivere l’equazione della

4 punti tangente al grafico della soluzione particolare nel suo

c) punto di ascissa x = 0.

12 punti N.B.: Tutti i problemi proposti sono obbligatori!

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Matematica (5P.)

Problema 3 - (corto: geometria)

Nello spazio euclideo, munito di un riferimento ortonormato Oxyz, sono dati:

• I piani    ,

: x y z 0

1

    ,

:

2 x y 5

z 9 0

2

• La retta 

     

x 2 4

     



   ().

     

r

: y 1 2

     

     

z 0 2

 

3 punti a) Determinare la retta s =.

1 2

2 punti Mostrare che r e s sono parallele.

b) Determinare un’equazione del piano individuato dalle rette

4 punti r e s.

c) 

Trovare l’equazione della proiezione ortogonale di

4 punti d) r sul piano.

1

13 punti N.B.: Tutti i problemi proposti sono obbligatori!

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Matematica (5P.)

Problema 4 - (corto: probabilità)

In un certo paese, il 40% della popolazione ha meno di 30 anni.

Tra quelli che hanno meno di 30 anni, il 30% ha la patente di guida (P.G.).

Tra quelli che hanno 30 anni o piú, il 60% ha la P.G.

4 punti Calcolare la probabilità che una persona, scelta a caso, abbia la P.G.

a)

4 punti Calcolare la probabilità che una persona con P.G. abbia meno di 30 anni.

b) Un gruppo di 12 persone di questo paese si distribuisce cosí:

• 3 persone hanno P.G e meno di 30 anni
• 4 persone hanno P.G e 30 anni o piú
• 5 persone non hanno P.G.

Si scelgono a caso, nel gruppo, 3 persone.

5 punti Calcolare la probabilità che tutte e 3 abbiano la P.G., con una persona avente meno di 30 anni.

13 punti N.B.: Tutti i problemi proposti sono obbligatori!

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Matematica (5P.)

Problema 5 - (lungo: analisi)

É data la funzione di variabile reale:

   

2

ax 2 ax, SE x 0



a (a\{0}).

f : x  

a  3 x ln x, SE x 0

4 punti Calcolare a in modo che f abbia un minimo relativo di ordinata -1.

A a

Si pone ora a = -1 e si considera la funzione:

B   

2

x 2 x, SE x 0



a

f : x  

 3 x ln x, SE x 0

e sia F il grafico di f in un sistema di riferimento ortonormato xOy.

5 punti Studiare f (zeri, senso di variazione, punti estremanti)

a)

4 punti Studiare la derivabilità di f in x = 0.

b)

4 punti Disegnare F.

c)

4 punti Scrivere le equazioni delle rette tangenti a F che sono parallele alla retta di

d) equazione y = -4x + 1

4 punti Calcolare:

e) k



 

A f ( x ) dx ( k 2).

k 2

25 punti N.B.: Tutti i problemi proposti sono obbligatori!

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Matematica (5P.)

Problema 6 - (lungo: geometria)