Compito di analisi per la scuola europea di Luxemburg 3

Matematica 7 It. Test Luxembourg, 24/10/2000

Integrali indefiniti

Risolvere i seguenti integrali indefiniti:

a) ∫ (1/x³ − 2/x² + 1/10x) dx

b) ∫ (2x³ − 3)/(10x + 1) dx

Funzioni di variabile reale

Sono date le funzioni di variabile reale:

f : x ↦ x² − 2x + e^−x

g : x ↦ 2 − x

I cui grafici rispettivi, in un sistema di riferimento ortonormato xOy, sono F e G.

a) Determinare, ove possibile, per f e g:

• Dominio;
• Zeri;
• Punti estremanti;
• Asintoti.

b) Disegnare F e G.

c) Risolvere la disequazione g(x) ≥ f(x).

d) Calcolare l’area della parte finita di piano compresa fra G e F.

Geometria nello spazio

Nello spazio, riferito ad un sistema di riferimento ortonormato Oxyz, è data la retta:

s: x = 1 − 2t, y = 2 + t, z = 1 − t

ed il punto C(1, −2, 1) ∈ s.

a) Scrivere l’equazione della sfera S avente centro in C e raggio uguale a 6.

b) La retta s interseca la sfera S in due punti, A e B. Determinare le coordinate di questi due punti.

c) Scrivere le equazioni dei piani π_A e π_B, tangenti alla sfera S rispettivamente in A e in B.

Come sono questi due piani?

Probabilità

In un sacchetto ci sono 3 biglie rosse, 2 bianche e 7 verdi. Si estraggono, a caso, due biglie, una dopo l’altra e senza reimbussolamento.

a) Calcolare la probabilità di avere 2 biglie rosse.

b) Calcolare la probabilità di avere due biglie dello stesso colore.

c) Calcolare la probabilità di avere una biglia rossa ed una verde.

d) Se la prima biglia estratta è rossa, calcolare la probabilità che la seconda sia verde.

e) Se la seconda biglia estratta è verde, calcolare la probabilità che la prima sia rossa.