Circuiti Elettronici di Potenza

Introduzione all'elettronica di potenza

L'elettronica di potenza è un'area tecnologica, disciplinare, che sta prendendo sempre più piede perché praticamente non esistono applicazioni dell'ingegneria dell'energia elettrica dove non ci siano convertitori elettronici di potenza, perché la gestione e il controllo dei livelli di correnti e tensione viene fatta in maniera estremamente agevole. Il benefit è che con lo sviluppo tecnologico, a parità di prestazioni, i dispositivi sono sempre meno, oppure a parità di costo i dispositivi sono sempre più performanti. Siamo ancora nello sviluppo di queste tecnologie di elettronica di potenza che entrano dappertutto, anche a livello abitativo, civile, industriale, e per tutte le cose che riguardano energia elettrica.

Richiami e definizioni

Nello studio dei circuiti elettronici di potenza ci interessa della tensione e della corrente, o potenza istantanea, o energia. Segnale, grandezza o forma d’onda li consideriamo sinonimi.

Grandezze periodiche

Parliamo di grandezza in funzione del tempo. L'andamento nel tempo è periodico quando la forma d'onda si ripete nel tempo in modo identico e questa finestra temporale, durante la quale la grandezza poi si ripete identicamente nelle finestre successive, si chiama periodo. Preso un istante di tempo generico, aggiungendo il periodo, ci ritroviamo esattamente lo stesso valore della grandezza, così come aggiungere un multiplo intero del periodo. Questo ci consente di focalizzarci su quello che succede all'interno di un solo periodo, perché quello che succede negli altri periodi è identico. Per caratterizzare una grandezza non serve studiarla da ±∞, è sufficiente caratterizzarla in un periodo. Tant'è che per individuare la grandezza all'interno del periodo di solito si usa l’angolo elettrico.

f(t) = f(t + T) = f(t ± nT) con n = intero

Angolo elettrico

Se il periodo corrisponde a T o 2π, si utilizza un angolo che rappresenta il tempo trascorso scalato da 0 a 360°. Con una semplice proporzione possiamo descrivere la nostra grandezza in termini del cosiddetto angolo elettrico: θ = (t/T) · 2π. L'individuazione dell’angolo elettrico ci consente subito di ricavare la pulsazione fondamentale, che è la frequenza vista dal punto di vista angolare. La frequenza è f = 1/T. Se moltiplichiamo per 2π, otteniamo la pulsazione ω, che si misura anch’essa in rad/s, ma per non fare confusione la misuriamo in Hz. Possiamo sempre passare dal dominio del tempo al dominio dell'angolo. Ci consente di focalizzarci su un periodo, perché se vale in un periodo vale in tutti. Per questo spesso si usa l’angolo elettrico.

ω = 2πf → f = ω/2π con ω = pulsazione fondamentale

Valore medio

Valore medio: sia un valore arbitrario x(t). La formula è: X̅ = 1/T ∫^T₀x(t) dt; [X(t) - X̅] = 0. Ci sono varie simbologie. Quando si parla di grandezze periodiche ha senso parlare di valore medio, piuttosto che parlare di valor medio in generale. Se la grandezza è periodica, a seconda della finestra nella quale calcoliamo il valor medio, viene un valore diverso. Quando parliamo di una grandezza periodica, il valore medio è riferito al periodo, non cambia. Se invece la grandezza non fosse periodica, il valor medio dipende da dove si posiziona la finestra e da quanto dura. Si può dire che il valor medio sia una proprietà intrinseca di una grandezza periodica, basta che lo calcoli sul periodo, non è necessario che si specifichi a partire da che punto lo si calcola. Graficamente si può facilmente individuare il valore medio, basta tracciare una linea che rappresenta il valore, dividendo le aree che stanno al di sopra e di sotto della linea in modo da bilanciarle: l'area di sopra uguale a quella di sotto. Per una grandezza periodica il valor medio è riferito al periodo.

Proprietà del valor medio: per grandezze isofrequenziali (periodo T)

Il valore medio è un operatore lineare. Il valore medio della somma di due grandezze periodiche è uguale alla somma dei valori medi. Il valore medio di una grandezza moltiplicato per una costante è la costante moltiplicata per il valore medio. Il valor medio di una combinazione lineare è la combinazione lineare dei valori medi. Il valore medio del prodotto non è il prodotto dei valori medi.

x(t) + y(t) = x̅ + y̅; cx(t) = cX̅; cx(t) + dy(t) = cX̅ + dY̅

Se avessimo il periodo diviso in sottoperiodi (tali per cui la loro somma restituisce il periodo di calcolo, t₁, t₂, …), possiamo calcolare il valore medio pesando tutti i valori medi in ciascuno di questi intervalli. Il valore medio è un’area, quindi dobbiamo calcolare l'area sottesa alla funzione. Dividiamo in tanti intervalli, anche di ampiezza diversa. Se conosciamo il valore medio in un certo intervallo, basta che quel valore medio lo moltiplichiamo per la durata dell'intervallo e troviamo l'area, poi le sommiamo tutte. Infine, dividiamo per il periodo complessivo. Il valor medio complessivo è una media pesata dei valori medi, dove il peso è il rapporto tra la durata dell’intervallo e la durata del periodo complessivo sul quale calcolo il valor medio.

X̅ = (T₁/T)X̅₁ + (T₂/T)X̅₂ + ... = Σ(T_i/T)X̅_i

Valore efficace

Valore efficace: sia un valore arbitrario x(t). Definizione analoga è utilizzando la variabile angolare. Il valore efficace assomiglia un po’ al valor medio, ma vuole esprimere un concetto diverso. Vuole esprimere quanto la grandezza è diversa da 0 indipendentemente dal fatto che sia positiva o negativa, infatti nella definizione c’è il quadrato. Conta il valore a prescindere dal segno. È la radice quadrata della media dei quadrati nel periodo. Se lo applico ad una grandezza periodica, non importa l’istante iniziale di calcolo, ma l’importante è calcolarlo in un periodo o in un multiplo del periodo. Comunque spostiamo la finestra di calcolo del nostro valore efficace, viene lo stesso. Non è lineare come il valor medio perché c’è il quadrato.

X_rms = √(1/T ∫^T₀[x(t)]² dt); [X_rms - X̅] = 0

Bisogna focalizzarsi sul fatto che c’è il quadrato, quindi non è lineare. Preso un segnale periodico che varia tra +1 e -1 di periodo T (es. onda quadra). Spesso si avrà a che fare con segnali costanti a tratti o approssimabili come tali. Il valore medio è 0. Stessa cosa se fosse un segnale sinusoidale. Il valore efficace si calcola facendo la media del quadrato dei valori assoluti. La parte positiva e la parte negativa pesano esattamente nello stesso modo, è come se fosse un segnale costante di ampiezza 1. Ma il valor medio è 0. Se un segnale ha valore efficace nullo, vuol dire che il segnale è sempre nullo, perché comunque si discosta da 0 il valore efficace viene diverso da 0. Non si riesce a bilanciare con una parte negativa perché non c’è, è un valore sempre positivo. Il valore efficace della sinusoide è legato al valore massimo (ampiezza della sinusoide) con la radice quadrata di 2: X_rms = X_max/√2.

Proprietà del valore efficace

Il valor medio coincide con il valore efficace quando la grandezza è costante, e corrispondono al valore della grandezza stessa. Anche per il valore efficace vale quella proprietà vista per il valore medio. Supponiamo di dividere il periodo in tanti intervalli di tempo, anche di durata diversa (magari perché la grandezza è lineare a tratti). Il quadrato del valore efficace può essere ottenuto con una media pesata dei quadrati dei valori efficaci nei singoli intervalli. Da questo si ricava il valore efficace della grandezza facendo la radice. Il peso è sempre il rapporto tra l’intervallo di tempo e il periodo complessivo.

X_rms² = (T₁/T)X_rms1² + (T₂/T)X_rms2² + ...

Analisi armonica, sviluppo in serie di Fourier

Una qualsiasi grandezza periodica può essere espressa come una somma di sinusoidi con frequenza multipla della fondamentale. Anche una forma d'onda periodica con degli spigoli (es. rettangolare) può essere espressa con una serie infinita di armoniche. Le armoniche hanno la frequenza fondamentale (la prima armonica) alla stessa frequenza del segnale periodico, cioè ha lo stesso periodo. Tutte le altre armoniche hanno periodo o frequenza multipla. La seconda armonica ha frequenza doppia, la terza tripla, ecc., tutti multipli interi del periodo della fondamentale. L’armonica fondamentale è la prima forma d’onda che serve per ricostruire la nostra forma d'onda periodica qualsiasi.

L’altro termine che si mette in evidenza è il valor medio X̅. Con delle sinusoidi non si può ottenere un valore medio, se abbiamo una grandezza periodica che ha un valore medio diverso da 0 bisogna aggiungerlo. Questo termine è come se rappresentasse una sinusoide di periodo infinito, l’indice di armonica sarebbe l’armonica 0 e si chiama anche componente continua. È il limite per il periodo che tende ad infinito di un’armonica che diventa un valore numerico costante. Al valor medio aggiungiamo la somma delle sinusoidi che vanno a ricostruire il segnale.

Calcolato il valor medio come riportato in precedenza, rimane da trovare la componente alternata. Una grandezza alternata è una grandezza che ha valor medio nullo. Quindi una nostra grandezza periodica può essere descritta da una componente continua (valore medio), e una componente alternata, a valore medio nullo, che può essere espressa come somma di sinusoidi a frequenza pari alla frequenza fondamentale, doppia, tripla, fino ad infinito. Il termine n è l'ordine di armonica che va da 1 a ∞. Non è detto che queste armoniche, però, possano esserci, e arrivano fino ad infinito.

x(t) = X̅ + Σ(A_ncos(nωt) + B_nsin(nωt))

Dal punto di vista pratico non si riesce ad andare all’infinito. Nella realtà succede che, nei segnali periodici, l'ampiezza di queste armoniche decresce all'aumentare dell'ordine dell'armonica, quindi è sufficiente rappresentare il segnale con poche armoniche. Dopo l'ampiezza (A_n) dell’armonica tende a diventare 0. Quindi tronchiamo lo sviluppo e possiamo rappresentare un segnale che è sinusoidale con tante sinusoidi, ma non infinite. L'ordine dell'armonica moltiplica la pulsazione fondamentale ω = 2π/T. Più il segnale è lontano dalla forma d’onda di una sinusoide, più armoniche presenta il suo sviluppo in serie di Fourier. Le armoniche successive alla fondamentale sono quelle che distorcono il segnale.

L’ideale sarebbe avere grandezze costanti o perfettamente sinusoidali. La distorsione armonica introduce delle perdite addizionali, dei rumori in senso elettrico ed acustico, nelle macchine elettriche (che funzionano con l’armonica fondamentale) generano delle coppie armoniche, quindi perdite. Tutto quello che non è sinusoidale alla frequenza fondamentale è un disturbo. Come tutto ciò che non è costante è un disturbo se il sistema è in continua. Nella realtà le armoniche non sono in generale né sin né cos. Sono delle sinusoidi che hanno un angolo di fase che separa a loro. Ogni armonica è caratterizzata dalla frequenza (ordine di armonica), dall’ampiezza e dalla fase. Servono due grandezze per individuare un’armonica.

Con questa espressione posso pensare di scomporre una sinusoide generica nella parte sin e nella parte cos. Si può vedere bene se rappresentata come fasore. Il vettore del cos sull'asse reale e il vettore del sin sull'asse immaginario, e in generale in angolo compreso tra 0° e 90°. I coefficienti A_n e B_n rappresentano l’ampiezza della componente in sin e in cos.

x(t) = X̅ + ΣA_ncos(nωt - φ_n);

A_n = √(a_n² + b_n²);

φ_n = arctan(b_n/a_n)

L'espressione compatta dello sviluppo in serie di Fourier di una sinusoide generica, che ha una frequenza multipla rispetto all'armonica fondamentale, e un angolo di fase generico φ_n. Posso ragionare con la forma compatta, dove c’è l’ampiezza dell'armonica e la sua fase, oppure con la forma binomia, dove non ho la fase, ma ho due ampiezze A_n e B_n, per ogni frequenza.

Calcolo dei coefficienti

Calcolo dei coefficienti: fissato arbitrariamente l’istante di riferimento t₀, con n = 1, 2, …, ∞.

a_n = (2/T) ∫^T₀x(t)cos(nωt) dt;

b_n = (2/T) ∫^T₀x(t)sin(nωt) dt

In termini di angolo elettrico, il coefficiente sarebbe trasformandolo in angolo, il periodo è quindi 2π. Rimane 1/T. È n volte il valor medio di quello che c’è dentro all’integrale. È il valor medio perché compreso tra 0 e 2π del valore della nostra grandezza periodica per il cos. Se la grandezza la moltiplico per il sin, ottengo l'ampiezza A_n. Bisogna moltiplicare per l’ordine dell’armonica che si vuole calcolare. Da dove salta fuori il 2? Fissando l’angolo si ha:

a_n = (2/T) ∫^π₀x(t)cos(nωt) dt;

b_n = (2/T) ∫^π₀x(t)sin(nωt) dt

Ci sono delle formule trigonometriche che ci consentono di scrivere il prodotto di sin e cos come somma di delle differenze degli argomenti (formule di Werner).

cos(A)cos(B) = [cos(A - B) + cos(A + B)]/2

sin(A)cos(B) = [sin(A - B) + sin(A + B)]/2

Abbiamo il prodotto tra sin e cos nelle equazioni, perché il termine è lo sviluppo in serie di Fourier della grandezza. Il segnale scritto come somma di sinusoidi viene moltiplicato per una sinusoide. Allora l’integrale diventa una somma di prodotti di sinusoidi, alcune in sin altre in cos, ci sono tutte e tre le combinazioni. Inoltre, sono moltiplicate armoniche anche a frequenza diversa, perché le contiene tutte.

Supponiamo di voler calcolare l'ampiezza del termine in cos per una certa armonica, cioè n. Prendiamo il segnale cos(ωt), e lo moltiplichiamo più un segnale ad una frequenza n volte maggiore. Ci ritroviamo termini del tipo cos(nωt)cos(ωt), sin(nωt)cos(ωt). Nei prodotti vediamo che, quando le frequenze sono diverse, e faccio la differenza tra le due frequenze, viene fuori una frequenza diversa da zero. Facendone l'integrale nel periodo, questo viene 0. Stessa cosa quando vado a fare la somma, il valor medio è 0. L’unico caso in cui non viene 0 è quando le due frequenze sono le stesse. Allora, se sono uguali, quando faccio la differenza viene cos(0) = 1.

È l'unico caso in cui quando faccio l'integrale non viene 0, ma verrà il coefficiente che c’è davanti. Il 1/2 che ci vuole davanti all’integrale serve per mandare via questo qua. Alla fine, il risultato dell’integrale è l'ampiezza del termine in cos, perché avrà una sua ampiezza che viene fuori dall’integrale, l’1/2 va via col 2 e rimane solamente l’ampiezza A_n. Solamente quando la frequenza è la stessa che voglio andare ad estrarre.

Riassumendo: ho il segnale con il contenuto armonico, lo moltiplico per l'armonica di cui voglio trovare l'ampiezza, e faccio il valor medio. Automaticamente vanno via tutte le armoniche che non sono quella che voglio estrarre. Quella che voglio estrarre salta fuori con un coefficiente, quindi la moltiplico per 2.

Tutti i termini in sin contenuti nel segnale periodico non li estraggo perché presentano la somma e la differenza all’interno di un sin, quindi quando la frequenza è la stessa (la differenza fa 0 e sin(0) = 0). Tutti i termini in cos vanno via come valor medio. Tutti i termini in sin vanno via, e rimane solo il termine in cos.