CINEMATICA

Cinematica

Parte mecc. con cui introdurre strum. mot. x descrivere moto.

Corpo generico -> 6 gradi libertà (6 lonq) estensione piano rigido -> punto poli deformabile -> più gradi di libertà.

Corpi infinitesimi rispetto ad un sistema di riferimento: 3 gradi di libertà (traslazione x, y, z).

Cinematica/dinamica del punto materiale

Oggetti non ha estensione. Applicando forze come possibile moto ma massa.

Misurare posizione pt. materiale in f(x) tempo.

Traiettoria -> luogo dei punti accupati success dal punto in mov.

Moto rettilineo

Studiare 1 sola dimensione.

Si svolge lungo una retta: traiettoria, luogo pt occupati.

Un'origine e un verso nello spazio chiamato moto.

Legge orario -> come posizione dip dal tempo.

X = X_(t)

La posiz punto in fun del tempo.

Funzione analitica

v_M = ^ΔX_i/_ti

v_inst = lim ^∆X/_{∆t ->0} = X ^(t)

Variazione di posizione lungo farest.

Vel identità.

Cambio in maniera continua.

Cinematica

Parte mecc. con cui introdurre strum. mat. x descrivere moto.

Corpo generico 6 gradi libertà (6 loni): estesa rigida profonfera involuta + rotore.

Più deformabile più gradi di libertà.

Corpi punti: rispette ad un sistema di riferimento 3 gradi di libertà (traslazione X/Y/Z), posizione in funzione del tempo.

Cinematica/dinamica del punto materiale

Oggetto ha no estensione spaziale ma ha massa.

Misurare posizione pt materiale in funz del tempo.

Trajettoria => luogo dei punti occupati success dal punto in mov.

Moto rettilineo

1/3 del dimensionale.

Si svolge lungo una retta nelle finale traiettoria - luogo pt occupati ver la qua finati - un'origine e un verso nell'spazio definito moto.

Leggi orario → come posizione dip dal tempo.

x = x(t), posizione punto in funz del tempo.

Funzione analitica

V_m = Δx / Δt = x₂ - x₁ / t₂ - t₁

V_ist = lim Δt → 0: Δx / Δt = x'(t), variazione di posizione lungo taverapunti interpolazione del nodo.

x(t) = V_o cost, caso particolare moto rettilineo uniforme.

Moto legge oraria posiz -> si può ricavare legge oraria vel.

Legge oraria vel

V(t) = dx/dt.

dx integrale indefi di 1 ad ogni ist. motivo integrale.

Devi spazio compresso pezzoni da vel si può ricavare posizione.

x(t) -> x(0) + int₀^t V(t') dt'

Posiz t₁^finale = x₀ + int₀^t_1t V(s) ds.

Pt di t -> funzione integr potenziale ->

Condizione iniziale del moto

Necessaria per ricavare x(t).

x(t) = x(t_o) + int_to^t V(t') dt'

Caso vel cost -> x(t) = x(o) + int_o^t**(a**t') dt' = x(0) + V_t integr o + x(0) integr 0.

= x_o + V_o * [t - t_o] trasf tempo!

Se t_o!=0.

Legge oraria acc

a(t) = dV(t)/dt.

du?dv = a(t) dt dub V(t) - V(0)/dv = int a(t') dt' integr t_o^t

V(t) = V(0) + int₀^t a(t') dt'

Limite per velocità.

x(t_o) = asse x con direzione e origine = 3m sull'casse x - determina unica traiettoriaampo raggiung.

Verso -> -> o quanto varia vel in lim nel tempo.

Legge oraria acc.

a(t) = dV(t)/dt

Velocità V(t) = V(0) + int₀^t a(t') dt' = V_o + aT[_acc t ]_cost

X_o Xt posiz varia lineare nel tempo.

Descrizione vettoriale moto

Vettore - grandezza che fornisce:

• Numero/modulo
• Direz
• Verso

Due vett sono ≤ali se proprietà coincidono.

Grandezze vettoriali → è rilevante avere direzione e verso.

Se nei costi → vettore vel e cost non cambiano modulo, direz, verso.

Operazione con i vettori (dal pt vista grafico)

Somma: metodo parallelogrammo.

^a₊^b = √(^a2₊^b2)

Differeza: sottrazione, tipo de vet.

^a_-^b = (√^b2)

Es. ²_a = ^a₊^d

Elevanto: opposto _a + (_-^a) = 0.

Stessa direz stessa notifica verso opposto.

Separare le 3 caratt vettore:

• Modulo |_v| valore
• Vettore di modulo unitario versore
• Versore u^{^} = 1/V v_x = x/|_v|
• Direzione
• Verso

Differ solo da 0 del modulo |_v|.

√3 = √3/3 û3D.

3 versori per ogni dim spazio.

Con modulo unitario possono essere espr. con coord. cont.

x(t) = x(t) î_x + y(t) ĵ_y + z(t) k̂_z = √(x(t)) vet/vettore part.

Operazioni

v = v_x î_x + v_y ĵ_y + v_z k̂_z vettore generico.

w ^{>>= v_x î_x + v_y ĵ_y + v_z k̂_z}

u*w = (v_ix î_x + v_y ĵ_y + v_z k̂_z) (v_ix î_x + v_y ĵ_y + v_z k̂_z) somma singole comp.

Seguito di 'modulo di vettore': |VERSORE u(î_x + ĵ_y + cos_z k̂_z) = MODULO VETTORE SPOST trovato.

|_r| = √(x₁ + y₁ + z₂)

V_x i_x + V_y i_y + V_z i_z

V = √(V_x² + V_y² + V_z²)

2 dimensioni (1 comp = 0).

cos α = V_x/V

cos γ = V_y/V

cos² α + cos² γ = 1.

3 dimensioni.

cos α = V_x/V

cos β = V_y/V

cos γ = V_z/V

cos² α + cos² β + cos² γ = 1.

μ_v = V_v/|V| = Î_v/|Î| = Î_v^u direttore.

|V| = 1/|V|^u

V(t) = dx/dt = dr(t)/dt.

drv = rv(t + Δt) - rv(t).

d(t) = x(t)_i + y(t)_j + z(t)_k

dd(t) = dx(t)_i + V_y(t)_j + V_z(t)_k

d(t) = dx(t)_i + x(t)_d + d(t) = dx(t)_i + dy(t)_j + dz(t)_k

V = V₁(t)_i + V₂(t)_j + V₃(t)_k

x(t) = dx(t)_i

d(t) = du(t)_l + x(t)_d

Moto rettilineo.

Moto circolare.

V(t) = V_x(t)_i

V(t) = dV(t)_x + dr(t)_d

Scalare.

d(t) = x(t)*

Moto rett. unif. acc.

\(\vec{a}(t)=d_o\hat{i}_x\)

COST.\(a_x(t)=d_o\)

Legge oraria vel.

\(\vec{v}(t)=v_x(t)\hat{i}_x\)

\(V_x(t)=V_x(O)+∫_O^t a_o dt\)= \(V_x(O)+d_o t\)

Se acc. cost. → vel cresce con il tempo.

Legge oraria posizione

\(\vec{r}(t)=x(t)\hat{i}_x\)

\(x(t)=x(O)+ ∫_O^t ψ(t') dt'\)=\(x_O+V_x(O)t+\frac{1}{2} d_o t^2\)

\(x(t)=x_O+V_ot+\frac{1}{2} a_ot^2\)

\([X(O)=x_O\]

\([V(O)=V_o\]

\[V(t)=V_o+a_ot\]

\[a(t)=d_o\]

{\(x_O>0\)\(V_o>0\)\(d_o>0\) nel tempo {\(x_O>0\)\(V_o>0\)\(d_o più rapido, v cambia oltre z.

Moto circolare

Uso sint. rif. in coord. polari r e ψ.

Polo cen. tr coordinata radiale.

ψ coordinato angolo.

P(= ξ(t)y.

R = √ξ₂ + y₂

tg ψ = yξ = rcosψ.

y = rsin ψ.

t =) = r = r(t) = R.

ψ = ψ(t) = ξ(t).

(x, y) (r, ψ) cost. base coordin x descrizione moto.

)= v(t) = dθ = v(t). Rdt dψ.

Mot. angolo.

dtdv(t) dψdt dtdt2.

a(t) =d 2s = αR. c’anchm N a_N =v2r = ω2R.

Particolare v = cost.

Modulo vel. costante.

du = ω2ds = v₀ t + u0t.

a = 0 (perché v_el = costante).

a_N =w2R.

Moto circolare

s(t) = θ(t) . R.

v(t) = ω(t) R.

a_t(t) = α(t). R.

a_n(t) = ω2R.

w = dudt.

α = dω/df.

ω = α . t.