Cerchio osculatore a una conica

Cerchio osculatore ad una conica

Francesco Daddi - gennaio 2010

C e P

Data una conica C e un suo punto P₀, vogliamo trovare l’equazione cartesiana del cerchio osculatore alla conica in P₀.

Se la conica ha equazione p(x, y) = 0, per prima cosa determiniamo l’equazione t(x, y) = 0 della retta tangente alla conica in P₀; successivamente imponiamo che l’equazione

p(x, y) + [a(x − x₀) + b(y − y₀)] = 0

rappresenti una circonferenza.

Esempio 1

Scrivere l’equazione cartesiana del cerchio osculatore alla conica di equazione

x² − xy + 3y² − y = 0

nell’origine.

Soluzione. La retta tangente alla conica nell’origine è l’asse x (la sua equazione, perciò, è y = 0); ora dobbiamo imporre che l’equazione

x² − xy + 3y² − y + y(ax + by) = 0

rappresenti una circonferenza; svolgendo i calcoli troviamo

x² + (a − 1)xy + (3 + b)y² − y = 0.

Dobbiamo quindi annullare il coefficiente del termine misto e imporre che i coefficienti di x² e y² siano uguali:

a − 1 = 0  ⇒  a = 1

3 + b = 1  ⇒  b = −2

In definitiva, l’equazione cartesiana del cerchio osculatore alla conica nell’origine è

x² + y² − y = 0.