Cerchio osculatore a una conica

Francesco Daddi - gennaio 2010

Cerchio osculatore ad una conica

C P

Data una conica e un suo punto , vogliamo trovare l’equazione cartesiana del cerchio

0

P C p(x, y)

osculatore alla conica in . Se la conica ha equazione : = 0, per prima cosa determiniamo

0

t(x, y) P , successivamente imponiamo che

l’equazione = 0 della retta tangente alla conica in 0

l’equazione p(x, y) t(x, y) · − x b − y

+ [a (x ) + (y )] = 0

0 0

rappresenti una circonferenza. C

Esempio 1. Scrivere l’equazione cartesiana del cerchio osculatore alla conica di equazione

2 2

− xy y − y

C x 2 + 3 = 0 nell’origine.

: x y

Soluzione. La retta tangente alla conica nell’origine è l’asse (la sua equazione, perciò, è = 0);

ora dobbiamo imporre che l’equazione

2 2

x − xy y − y y(a x b y)

2 + 3 + + = 0

rappresenti una circonferenza; svolgendo i calcoli troviamo

2 2

− xy b) y − y

x + (a 2) + (3 + = 0 2

xy x e

dobbiamo quindi annullare il coefficiente del termine misto e imporre che i coefficienti di

2

y siano uguali:

a − a

2=0 =2

⇒

b b −2

3+ =1 =

in definitiva, l’equazione cartesiana del cerchio osculatore alla conica nell’origine è

2 2

y − y .

x + = 0