Cerchio, tesina

Il cerchio

Sara Sottile

Liceo Scientifico “A. Volta” – Foggia

Classe V Sezione H

Anno scolastico 2013–2014

Indice

• 1. Significato geometrico
• Introduzione: gli sviluppi della geometria euclidea nella storia.
• 1.1 Definizione di circonferenza e cerchio
• 1.1.1 Linee di campo magnetico generato da un filo percorso da corrente
• 1.2 Calcolo dell’area e del perimetro del cerchio
• 1.2.1 L’integrale definito
• Dimostrazione del Teorema della Media

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• 1.3 Il problema della quadratura del cerchio
• 1.3.1 Dante e la quadratura del cerchio
• Analisi del Canto XXXIII, Paradiso

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• 1.3.2 Dalla quadratura del cerchio all’Uomo Vitruviano di Leonardo
• 1.3.2.1 Il Modulor di Le Corbusier
• Analisi architettonica della Cappella di Nôtre-Dame a Ronchamp

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• 1.4 Definizione di sfera
• 1.4.1 La forma e le dimensioni della Terra: sferoide, geoide, calcolo di Eratostene
• 2. Significato simbolico
• 2.1 La ciclicità
• 2.1.1 Marx: le crisi cicliche di sovrapproduzione
• 2.1.1.1 La crisi economica del 1929
• 2.1.2 Verga: il ciclo dei vinti
• Analisi del brano “Il ciclo dei vinti”, Prefazione a I Malavoglia

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• 2.1.3 The monotony of actions: S. Beckett, Waiting for Godot
• Textual analysis: “We’ll come back tomorrow”

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• 2.2 Magia e misticismo
• 2.2.1 Apuleio, De Magia
• Analisi del brano “La vedova Pudentilla”

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Significato geometrico

Introduzione: gli sviluppi della geometria euclidea nella storia

Il termine “geometria” deriva dall’unione delle due parole greche “Ge” (Terra) e “metrein” (misurare).

Erodoto ritiene che la geometria sia nata presso gli Egizi per la necessità che essi avevano di ripristinare i confini delle terre cancellati regolarmente dalle inondazioni del Nilo; anche i Babilonesi ebbero conoscenze di geometria. Tali conoscenze, nelle antiche civiltà, avevano scopi puramente pratici.

Fu in Grecia che, a partire da Talete di Mileto e Pitagora di Samo, la matematica subì un’evoluzione che le conferì una vera dignità scientifica. In seguito il pensiero greco fu sintetizzato da Euclide nel trattato chiamato gli “Elementi”; quest’opera non contiene scoperte particolari ma segna la nascita della geometria come scienza autonoma.

Un posto a parte spetta ad Archimede, il quale affrontò il problema della rettificazione della circonferenza, dimostrò che π è un numero decimale con infinite cifre ed assegnò una legge per calcolarlo; inoltre egli fu precursore del calcolo integrale duemila anni prima che Newton e Liebniz giungessero all’elaborazione del calcolo infinitesimale.

Contemporanei di Archimede furono Apollonio ed Eratostene. Apollonio di Perga fu il primo a trattare della teoria delle coniche successivamente elaborata da Cartesio e Fermat.

L’opera di Eratostene di Cirene, invece, fu quella di geodeta piuttosto che di matematico: riuscì a calcolare con ottima approssimazione la lunghezza della circonferenza terrestre con un errore di poche centinaia di metri rispetto alle attuali misure compiute con i satelliti artificiali.

Il III secolo a.C. è detto il “secolo d’oro” della geometria per gli apporti di Euclide, Archimede ed Apollonio, anche se con il passare del tempo gli studi matematici si rivolsero più che altro alle applicazioni pratiche. Successivamente, durante gran parte del Medioevo il livello della matematica nel mondo arabo fu più alto che altrove, mentre dal Rinascimento al XVIII secolo l’attività matematica ebbe successivamente centri diversi: Germania, Italia, Francia, Paesi Bassi e Inghilterra. La Svizzera divenne patria adottiva dei quattro matematici della famiglia Bernoulli e di Eulero; quest’ultimo utilizzò un linguaggio ed una notazione che per molti aspetti corrispondono a quelli odierni (l’uso del simbolo e, l’uso della lettera greca π, il simbolo i per indicare ). Nei secoli successivi si sviluppò la geometria proiettiva e diversi tipi di geometria non euclidea. 2

Definizione di circonferenza e cerchio

1. Definizione di circonferenza

La circonferenza è il luogo dei punti di un piano che hanno distanza assegnata da un punto dato detto centro.

2. Definizione di cerchio

Il cerchio è la figura costituita da tutti i punti di una circonferenza e dai suoi punti interni.

Linee di campo magnetico generato da un filo percorso da corrente

Nel 1820 Ørsted osservò che un filo percorso da corrente influenza l’orientamento di un ago magnetico posto nelle vicinanze. Tale scoperta dimostra il legame tra il moto delle cariche elettriche e la creazione del campo magnetico, dando inizio alla disciplina nota come elettromagnetismo.

Quando in un filo rettilineo molto lungo scorre una corrente elettrica, gli aghi magnetici si dispongono lungo una circonferenza attorno al filo: dunque le linee di campo del campo magnetico prodotto dalla corrente sono circonferenze concentriche al filo stesso. La direzione ed il verso del campo magnetico possono essere determinati dalla seconda regola della mano destra, mentre l’intensità di tale campo è data dalla legge di Biot–Savart, che afferma che l’intensità B del campo magnetico generato da un filo rettilineo percorso da corrente è direttamente proporzionale alla corrente I che lo percorre e inversamente proporzionale alla distanza radiale r dal filo secondo la costante di proporzionalità μ /2 , dove μ è detta

0 0

–7

permeabilità magnetica del vuoto e vale 4 10 T m /A

Legge di Biot–Savart: 3

Calcolo dell’area e del perimetro del cerchio

Archimede di Siracusa sfruttando il metodo di esaustione determinò con buona approssimazione la misura della lunghezza della circonferenza, dell’area del cerchio e di numerose altre superfici.

Si può pensare al metodo di esaustione come una prima versione di calcolo integrale, perché si basava sull’idea di approssimare una superficie curva attraverso una sequenza di poligoni inscritti e circoscritti dal numero di lati via via crescenti. Ai matematici greci però mancava il concetto di limite: il metodo di esaustione non comprendeva nessun passaggio al limite e si arrivava a dimostrare la tesi attraverso un ragionamento per assurdo.

Per determinare l’area del cerchio Archimede considerò una successione di poligoni inscritti e una successione di poligoni circoscritti, le cui aree rappresentavano rispettivamente una stima per difetto ed una stima per eccesso dell’area del cerchio. In termini moderni si può dire che, comunque preso ε piccolo a piacere, esiste sempre un poligono inscritto tale che la differenza tra l’area A del cerchio e l’area del poligono è inferiore ad ε. La tesi si prova per assurdo: se si suppone che il cerchio abbia un’area A’ inferiore ad A, allora esiste un poligono inscritto la cui area è maggiore di A’, ma essendo esso un poligono inscritto, la sua area non può superare quella del cerchio. Ragionamento analogo vale per i poligoni circoscritti.

Archimede utilizzò un procedimento analogo per il calcolo della misura della circonferenza. Il rapporto fra la lunghezza (l) di una circonferenza e il suo diametro (d) era una costante: = π. Un risultato molto accurato di tale valore fu trovato da Archimede stesso, che giunse a stabilirlo con un errore di appena due millesimi.

L’integrale definito

Sia y = f(x):[a;b]→ℝ

f è continua e positiva

Si chiama trapezoide la figura piana delimitata dall’asse x, dalle rette x=a e x=b e dal grafico di f(x).

L’area del trapezoide può essere approssimata per difetto da (somma parziale ennesima inferiore). Dividiamo l’intervallo [a;b] in parti di ampiezza e consideriamo i rettangoli

m f

aventi per base un segmento di suddivisione e per altezza il segmento minimo che assume in

i

n

quell’intervallo. sarà uguale alla somma delle aree di questi rettangoli: 4

In maniera analoga possiamo approssimare l’area del trapezoide per eccesso (somma parziale

h M

ennesima superiore), considerando rettangoli di base e per altezza il segmento massimo che

i

f assume in quell’intervallo.

Le due successioni sono insiemi contigui; l’area del trapezoide è: .

Utilizzando l’ipotesi di continuità della funzione in [a;b], si può dimostrare che le due successioni convergono allo stesso limite:

Tale limite prende il nome di integrale definito e fornisce la misura dell’area S del trapezoide relativo ad f(x) nell’intervallo [a;b].

La funzione è continua di segno qualsiasi.

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• Proprietà dell’integrale definito.
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Dimostrazione del Teorema della Media

ℝ Significato geometrico

– Dimostrazione

Poiché la funzione è continua nell’intervallo [a;b], allora per il teorema di Weierstrass essa è dotata di un massimo e di un minimo assoluti. Vale quindi la seguente disuguaglianza:

Per la proprietà sul confronto tra integrali di due funzioni, vale la disuguaglianza:

Per la proprietà degli integrali sulle funzioni costanti otteniamo:

Dividiamo tutti i membri della disuguaglianza per (b–a): è un valore assunto da f, ossia

Per il teorema dei valori intermedi, il valore

esso è l’immagine di un punto c [a;b], quindi: 6

Il problema della quadratura del cerchio

Gli antichi greci erano affascinati dalla simmetria, dalla bellezza e dalla fine struttura logica della geometria. Ciò che più li soggiogava era il modo in cui il semplice e l’elementare riuscivano a fondare il complesso e l’intricato soprattutto per quanto riguarda l’architettura. I geometri riuscivano a costruire figure perfette ad una dimensione (la linea retta) e a due dimensioni (la circonferenza), costruzioni che erano alla portata delle tecnologie dell’epoca ma che erano anche in linea con i canoni estetici. Con riga e compasso è possibile semplicemente dividere in due parti uguali segmenti e angoli, tracciare rette parallele e perpendicolari, ma anche creare poligoni regolari di grande bellezza. Ai matematici del V secolo a.C., tuttavia, si presentava una sfida più ambiziosa: il problema della quadratura di una figura piana; con questo termine s’intende:

Definizione di quadratura

La quadratura di una figura piana è la costruzione (usando solo riga e compasso) di un quadrato avente area uguale a quella della figura piana considerata. Se questa costruzione può essere seguita, si dirà che quella certa figura è quadrabile.

Risolvere la quadratura significava realizzare il sogno di un mondo naturale governato dalla ragione e dall’ordine, sostituendo l’asimmetrico con il simmetrico, l’imperfetto con il perfetto, l’irrazionale con il razionale. Il problema della quadratura del cerchio restava però irrisolto, non certo per mancanza di tentativi: a poco a poco i matematici cominciarono a sospettare che la quadratura del cerchio con riga e compasso fosse una costruzione impossibile. Se però tale costruzione fosse stata davvero impossibile, i matematici avrebbero dovuto ugualmente dimostrare la sua impossibilità. Non è in discussione l’esistenza di un quadrato con area uguale a quella di un cerchio dato, ma la possibilità di costruirlo con riga e compasso.

Il problema della quadratura del cerchio rimase irrisolto dai tempi di Ippocrate fino a circa un secolo fa.