In questo appunto si parla di centro di massa, la cui definizione verrà discussa dettagliatamente in seguito.
Ogni sistema di punti dotati di massa ha un suo centro di massa, che è un punto che è soggetto a un moto se la somma delle forze esterne agenti su di esso è non nulla.
Se invece la somma delle forze esterne agenti su di esso è nulla, il centro di massa resta fermo (o si muove di moto rettilineo uniforme), in accordo con i primi due principi della dinamica.
Di seguito vediamo come è definito.
Definizione di centro di massa
Supponiamo di trovarci in un sistema di riferimento tridimensionale, in cui ogni punto è descritto da tre coordinate[math] (x, y, z) [/math]
.Dato un sistema di
[math] n [/math]
punti materiali aventi massa [math] m_1, m_2, \dots, m_n [/math]
e coordinate [math] (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), \dots, (x_n, y_n, z_n) [/math]
scriviamo le formule per calcolare le coordinate del centro di massa. Ricordiamo infatti che il centro di massa, essendo un punto, ha le sue coordinate [math] (x_G, y_G, z_G) [/math]
. Per comodità chiamiamo [math] M = m_1 + m_2 + \dots + m_n [/math]
la massa totale del sistema. Allora:[math] x_G = \frac{\sum_{i=1}^n m_i x_i }{M} [/math]
[math] y_G = \frac{\sum_{i=1}^n m_i y_i }{M} [/math]
[math] z_G = \frac{\sum_{i=1}^n m_i z_i }{M} [/math]
Esempio 1
Consideriamo un sistema di[math] n = 2 [/math]
punti materiali aventi coordinate:[math] P_1: (3 cm, 8 cm, 2 cm), P_2: (-2 cm, 10 cm, 1 cm) [/math]
[math] P_1 [/math]
abbia massa [math] m_1 = 1 kg [/math]
, mentre l'altro punto ha massa [math] m_2 = 3 kg [/math]
. Determiniamo le coordinate del centro di massa del sistema.Osserviamo innanzitutto che la massa totale del sistema vale
[math] M = (3+1) kg = 4 kg [/math]
.Applichiamo le formule di sopra, osservando che:
[math] x_G = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{M}, y_G = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{M}, z_G = \frac{m_1 z_1 + m_2 z_2}{M} [/math]
[math] G = (-0.75 cm, 9.5 cm, 1.25 cm) [/math]
Esempio 2
Due persone in piedi sul ghiaccio (una superficie priva di attrito) stanno tenendo i capi opposti di una fune, separati da una distanza[math]D[/math]
. Una persona è di massa [math]M_1[/math]
e l'altra è di massa [math]M_2[/math]
. Una persona comincia a tirare la fune, una mano sopra l'altra, trascinando l'altra persona più vicino.Supponiamo che
[math] D = 30 m, M_1 = 70 kg, M_2 = \frac{2}{3} M_1 [/math]
.Fissiamo un sistema di riferimento in cui il centro di massa
[math] x_G [/math]
si trova nell'origine.Avremo allora che:
[math] 0 = x_G = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{M} [/math]
[math]x_2-x_1 = D [/math]
allora vale che [math] m_1x_1 + m_2 (x_1 + D) = 0 [/math]
. Da quest'ultima uguaglianza ricaviamo, tenendo conto che [math] m_2 = \frac{2}{3} m_1 [/math]
, che:[math] x_1 + \frac{2}{3} (x_1 + D) = 0 [/math]
[math] \frac{5}{3} x_1 = -\frac{2}{3} D \rightarrow x_1 = -\frac{2D}{5} = -12 m [/math]
[math] x_2 = 18 m [/math]
.Osserviamo che, come è naturale aspettarsi, se
[math] M_1 = M_2 [/math]
, per simmetria le posizioni [math] x_1 [/math]
, [math]x_2[/math]
saranno uguali (in modulo).
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