Riassunto esame Topografia e Cartografia, prof. Vittuari, libro consigliato Topografia

Funzione e momenti di una variabile aleatoria

Funzione f(x) = ¹/_σ√2π e^{-1/₂ ( x-μ/_σ )2}

Momento iniziale di ordine K di una variabile aleatoria rispetto a un polo c.m_K,c = ^m∑ _i=1 ( x_i - c )^K p_i

Momento centrale di ordine 1 (K=1, c=μ(x)) m_1,µ(x) = ∑^m _i=1 ( x_i - µ(x) ) p_i = 0 µ(x) = ∫_-∞^∞ x_i f(x) dx

Momento centrale di ordine 2 (K=2, c=µ(x)) m_2,µ(x) = ∑^m _i=1 ( x_i - µ(x) )² p_i

V(x) = ∫_-∞^∞ ( x_i - µ(x) )² f(x) dx σ(x) = s.o.n.

Variabile standardizzata

Variabile standardizzata U_i = x - µ_x / D_x µ_Ui = 0 V_Ui = 1

Varianza v(x_c) = E { ( x_c - μ_c )² }

Covarianza cov( x_c x_d ) = E { ( x_c - μ_c ) ( x_d - μ_d ) }

Matrice di varianza - covarianza ∑_xx = V₁V₁₂V₂₁V₂

Funzione densità di probabilità e distribuzione normale o gaussiana monodimensionale

f(x) = ¹/_σ√(2π) e^-½((x−μ)²/_σ²)

Momento iniziale di ordine k di una variabile aleatoria rispetto a un polo c.m_k,c = ^m∑_i=1 (x_i - c)^k p_i

Momento centrale di ordine 1 (K = 1, c = 0) ⇒ nuova μ(x) m_1,0 = μ(x) = ^m∑_i=1 (x_i - x) p_i μ(x) = ∫_−∞^+∞ x_i f(x) dx

Momento centrale di ordine 2 (K = 2, μ(x)) ⇒ nuova σ²(x) σ(x) = s.q.m.

Variabile standardizzata U_x = x − μ_x / D_x μ_ux = 0 σ_ux = 1

Varianza var(x_c) = E{(x_c−μ_y)²}

Covarianza cov(x_c, x_k) = E {(x_c−μ_x)(x_k−μ_x)}

Matrice di varianza e covarianza ∑_xx = [v₁c₁₂v₂...]

Definisce la dispersione della variabile

Distribuzione binomiale o gaussiana bidimensionale

(x_a, x_b) ~ N(μ_a, μ_b, σ_a², σ_b², _ab)

Relazione densità di probabilità x gaussiana bidimensionale f(x_a, x_b) = (1 / 2_ab √(1-_ab²)) e^{-1 / (2 (1-_ab2)) (x_a - μ_a)} (x_b - μ_b) + x_ax_bab/σ_aσ_b)

Ellisse d'errore

Ellisse d'errore Punto su un piano descritto da v.a. bidimensionale (x_a, x_b) la posizione p_i; proprietà: c) |σ_ab²||

Convenzionalmente si assegna un intervallo di confidenza bidimensionale intorno alla posizione media

Sferica e orientamento asse principale secondo bb_x² = σ_{xab² + σxb + √(σxab + σxb² + 4σxabσxay} b_z² = σ_{xb² + σxb² - √(σxa² + xy²)}

Grandezze con precisioni differenti

Una misura influisce nei calcoli con peso differente in funzione della propria precisione

σⁱ_yi ; candeva peso P_j = 1 / σ^j

3 misure indipendenti ciascuna con una propria varianza

P = [_{σ¹² 0 0} [_σ^j2[σ_iui] ; l ; sum

Campionamento

Campionamento ^x=m_x=¹/_m^mΣ_i=1x_i; s²=¹/_m-1Σ(x_i-^x)²

s_xy=¹/_m-1Σ(x_i-^x)(y_i-^y)

• Media campionaria
• Varianza campionaria
• Covarianza campionaria

Propagazione delle propr. statistiche V.A.

x~N(μ_x,σ_x²) se y=ax+b→y~N(μ_y,σ_y²)

Propagazione della media di una variabile aleatoria

Propagazione della media di una variabile aleatoria y=g(x) y=_i=a₀+a₁x_i μ_y=E{a₀}+a₁E{x} μ_y=a₀+a₁μ_x ≡ g(μ_x)

Propagazione della varianza

Propagazione della varianza y=g(x) ∫xdy=g(x)=a₀+a₁x a.s.o numerate σ_y²=a₁²σ_x² σ_y²=^(dy/_dx)²σ_x²

Propagazione della covarianza

Propagazione della covarianza y=g(x) σ_xy=^(dy/_dx^dz/_dg)ρ_x

Rilievo: nozione triangoli piani

T. dei seni AB = BC = AC senα - senβ - senγ

T. Carnot AB² = AC² + BC² - 2 AC BC cosɣ

T. Buiggs b² = √(P - AC) (P - AB)P(P - c) = P=AB + BC + ca

Intersezione in piani

θ_AP = arctg(x_c - x_a) θ_BA = arctg(y_c - y_a)

D_AP = √((x_B - x_C)² + (y_B - y_A)²)

D_AP = D_AB senβ D_AP senɣ x_P = x_A + D_AP cosθ_AP

Intersezione inversa

Angoli interni di un poligono = (m lati - 2) Π

Quadrilatero → 2Π φ + ψ (φ + ψ + α + β + φ + β) = 2Π φ + ψ Π - (δ + α + β) Π δ L ψ φ θ_A = Π β =θ_BA - θ_BC

BP = AB_{sen φ  sen α} BP = BC_{sen ψ  sen β}

 ⎧ BP - AB sen φ = BC sen ψ _{sen φ  sen α   sen ψ  sen φ  BC sen α} = K_{sen ψ  AB sen β}

 _{sen φ + sen ψ} = _{K + 1 sen φ - sen ψ  K - 1}

 sen φ + sen ψ = _{sen φ + ψ  cos φ - ψ}      2      2

 _{sen φ - sen ψ = 2 cos φ + ψ sen φ - ψ}       2      2

 _{(φ + ψ)}   ⎛⎜⎜ _{(φ - ψ)} ⎞⎟⎟  cos ⎜⎝ ⎠⎟ = _{K + 1}        N  _{K - 1}

 tg N = tg _{(φ - ψ) K + 1         K - 1}

 _{φ - ψ} = arcφ _{(K - 1 tg N)} = ʯ     2   _{K + 1}      M

 ⎧_{φ + ψ} = N  2 _{φ - ψ} = M  2 ⎨       φ = N + M ⎩       ψ = N - M

Nota φ  → θ_AP   θ_AB + φ

   AP = _{AB sen (Π - α - β)    sen α}

 ⎧ x_P = x_A + AP sen θ_AP ⎩ y_P = y_A + AP cos θ_AP

Metodo delle osservazioni indirette

Dato il sistema di equazioni lineari y_o = A x + a_o → Σ_yy = A Σ_xx A^T

La soluzione del sistema, nel caso della compensazione ai minimi quadrati con il metodo delle osservazioni indirette, prende la forma:

δ_x = (A^TPA)^-1 A^TP l

P contiene le misure vere quando conosciamo la matrice di varianza e covarianza Σ_σξ

l = y_o - Σ_σξ ξ

P = l_o^T - Σ_σξ

Σ_yy = A Σ_xx A^T

Σ_xx = [ (A^TPA)^-1 A^TP ] Σ_P [ (A^TPA)^-1 A^TP ]^T

Σ_xx = [ (A^TPA)^-1 A^TP ] l_o^T [ (A^TPA)^-1 A^TP ]^T

Σ_xx = (A^TPA)^-1 A^TP l_o l_o^T P A (A^TPA)^-1

Σ_xx = (A^TPA)^-1 A^TP l_o l_o^T PA (A^TPA)^-1

Σ_xx = l_o^TP (A^TPA)^-1

σ_x ≅ S_ο² = N_χP_nr^T / r ← 2 1 →

GPS - uscite di pseudorange

GPS - uscite di pseudorange r₂^j = Δt₂^jc = [r - R^j] = [(x^j - x_i)² + (y^j - y_i)² + (z^j - z_i)²]^1/2 - cΔt_i

Le incognite sono (x_i y_i z_i δt_i)

Osservabile fase Φ_i^j(t) = Φ_i^j(t)