Campi Vettoriali

Gianni Sammito Appunti di Analisi II

Campi vettoriali ~ n

Un campo vettoriale è un funzione a valori vettoriali F : A → R, con A ⊆ R , dove in questo

caso la dimensione del dominio e del codominio è la stessa.

~

F (x , x , . . . , x ) = (f (x , x , . . . , x ), f (x , x , . . . , x ), . . . , f (x , x , . . . , x ))

1 2 n 1 1 2 n 2 1 2 n n 1 2 n

e ciascuna delle componenti è una funzione scalare f : A → R per i = 1, 2, . . . , n. Consideriamo

i

n

una curva γ ⊂ R parametrizzata, e sia

r : [a, b] → γ : t 7→ (x (t), x (t), . . . , x (t))

1 2 n

1

con r ∈ C ([a, b]), la sua parametrizzazione. Come esempio si può pensare al caso n = 3 e a r(t)

come legge oraria del moto di un punto materiale. d~l

~

Il lavoro infinitetsimo dL compiuto da F in un tratto infinitesimo di una curva è pari al

prodotto scalare d~li

~

dL = h F ,

pertanto il lavoro lungo γ è la somma dei lavori infinitesimi, ovvero

Z d~li

~

h F ,

L = γ

d~l d r(t)dt. Di conseguenza vale la seguente formula, da considerare come

ed inoltre risulta = dt

~

definizione di lavoro di F lungo γ Z

Z b d

d~li ~

~ r(t)idt

h F (r(t)) ,

h

F , =

L = dt

a

γ

~

Il vettore F (r(t)) ha queste componenti

~

F (r(t)) = (f (r(t)) , f (r(t)) , . . . , f (r(t)))

1 2 n

d r(t) sono

mentre le componenti di dt d 0

0

0 (t))

(t), . . . , x

(t), x

r(t) = (x n

2

1

dt

~

Quindi il lavoro di F lungo γ vale Z

Z n

X

b

b 0

0 0

0 (t)] dt =

(t) + . . . + f (r(t)) x (t)dt

(t) + f (r(t)) x f (r(t)) x

[f (r(t)) x n

2 k

1 n

2 k

1 a

a k=1

~ 2 2

Esempio: si consideri il campo vettoriale F : R :→ R : (x, y) 7→ (−y, x), calcolare il lavoro

compiuto su γ, dove γ è la circonferenza di raggio unitario percorsa in senso orario.

1

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Gianni Sammito Appunti di Analisi II

Una possibile parametrizzazione di γ può essere una funzione r : [0, 2π] → γ cosı̀ definita

½ x(t) = cos(t)

r(t) = t ∈ [0, 2π]

y(t) = sin(t)

Dato che ~

F (r(t)) = (− sin(t), cos(t))

e che d r(t) = (− sin(t), cos(t))

dt

allora il lavoro richiesto vale

Z Z 2π

d~li

~

L = h F , = h(− sin(t), cos(t)) , (− sin(t), cos(t))idt =

γ 0

Z Z

2π 2π

¡ ¢

2 2

= sin (t) + cos (t) dt = dt = 2π

0 0

Invertiamo ora il senso di percorrenza di γ, ovvero consideriamo la parametrizzazione r : [0, 2π] →

γ cpsı̀ definita ½ x(t) = cos(−t)

r(t) = t ∈ [0, 2π]

y(t) = sin(−t)

In questo caso d

~ r(t) = (sin(−t), − cos(−t))

F (r(t)) = (− sin(−t), cos(−t)) dt

Di conseguenza il lavoro lungo γ vale

Z 2π

L = h(− sin(−t), cos(−t)) , (sin(−t), − cos(−t))idt =

0

Z Z

2π 2π

¡ ¢

2 2

= − sin (−t) + cos (−t) dt = − dt = −2π

0 0 ~

In questo caso, cambiando il segno di percorrenza della curva γ, il lavoro compiuto da F ha

cambiato segno.

Esempio: consideriamo lo stesso campo vettoriale dell’esempio precedente e la stessa curva

γ, ovvero la circonferenza di raggio unitario, percorsa in senso antiorario, ma consideriamo una

diversa parametrizzazione, ovvero r : [0, π] → γ cosı̀ definita

½ x(t) = cos(2t)

r(t) = t ∈ [0, π]

y(t) = sin(2t)

In questo caso risulta d

~ r(t) = (−2 sin(2t), 2 cos(2t))

F (r(t)) = (− sin(2t), cos(2t)) dt

~

pertanto il lavoro di F lungo γ vale

Z π

L = h(− sin(2t), cos(2t)) , (−2 sin(2t), 2 cos(2t))idt =

0

Z Z

π π

¡ ¢

2 2

= 2dt = 2π