Campi conservativi 1

~ ~

~i ~j,

2

Campo vettoriale conservativo

Sia F(x, y) = (y + x²) + (α + 2)(x + cos y), con α ∈ R. Quali sono gli α per i quali F è conservativo? Calcolare, per tali valori di α, i potenziali di F.

R.

~

Il campo vettoriale dato è definito e regolare su tutto il piano, che è un insieme stellato. Di conseguenza la conservatività di F equivale all’uguaglianza delle derivate in croce.

Si ha

∂F₁/∂y = 1, ∂F₂/∂x = (α + 2).

Dunque deve essere α + 2 = 1, da cui α = −1. Per α ≠ −1 il campo F non è conservativo.

Sia Φ(x, y) il generico potenziale; allora deve essere

∂Φ/∂x = y + x², ∂Φ/∂y = x + cos y.

Integrando rispetto ad x si trova

Φ(x, y) = xy + ¹/₃x³ + g(y)

con g funzione arbitraria di y. Ma deve essere

x + g′(y) = ∂Φ/∂y = x + cos y,

~ ¹/₃

da cui g(y) = sin y. Tutti i potenziali di F sono dunque dati da Φ(x, y) = xy + ¹/₃x³ + sin y + c,

con c ∈ R.