Calcolo vettoriale

Vettori

Un vettore è un ente matematico descritto da un numero (modulo, non negativo), una direzione e un verso. Se ad una determinata grandezza fisica è associabile un vettore essa risulta matematicamente ben definita e si dice grandezza vettoriale.

Proprietà generali

Un vettore di modulo unitario si dice versore (â), uno di modulo 0 si dice vettor nullo (0).

Nello spazio, dato un vettore â, ∀∞ vettore equipollenti ad â, cioè con stesso modulo, direzione e verso e si ha che: se ∈ ₃ ⇒ = ⇔ â e sono equipollenti.

Siano A, B due pti dello spazio il vettore â che congiunge A e B si può scrivere come B - A. Si ha inoltre che:

|â| = √((x_B - x₀)² + (y₀ - y_B)² + (z_B - x_B)²)

Le linee rotte della retta che congiunge ed è equipollente fra due vettori, se σ due vettore possono essere indefinitamente unita nello spazio senza che perdo ottenere ità perció esso si dice vettore libero.

NB Un vettore è diverso da un segmento orientato per questo motivo.

Vettori

Un vettore è un ente matematico descritto da un numero (modulo, non negativo), una direzione e un verso. Se ad una determinata grandezza fisica è associabile un vettore essa risulta matematicamente ben definita e si dice grandezza vettoriale.

Proprietà generali

Un vettore di modulo unitario si dice versore (â), se uno di modulo 0 si dice vettor nullo (0).

Nello spazio, dato un vettore ā, i ∞³ vettore equipollenti ad ā, cioè con stesso modulo, direzione e verso, si ha che:

Se ī ∈ ě₃ ⇒ ī = q̄ ⇔ ā e ī sono equipollenti.

Siano A, B due pti. dello spazio Ē_A^B.

Il vettore ā che congiunge A e B si può scrivere come B - A. Si ha inoltre che:

|ā| = √((x_a - x_b)² + (y_a - y_b)² + (z_a - z_b)²)

Le circostanze della loro area tra equipollenza ed equiproiezione tra due vettori ā e ī di uno stesso vettore si può creare indirettamente intorno nello spazio senza che perda di generalità. Perciò esso si dia vettore libero.

NB Un vettore è diverso da un segmento orientato per questo motivo.

Se si parla di vettori in generale si intende un vettore libero.

Se un vettore libero →a è posto con origine in un pto A esso si dice vettore applicato al pto A -> (→A) (A, →a)

Se vettori indicati come differenza di pnti sono congruenti sia che dei:

A - B = C - D

Definizione #1

Si dice prodotto per il vettore →a e un numero reale m un vettore di modulo |m| |→a|, direzione uguale a quella di →a e verso uguale o opposto ad →a a seconda del segno di m.

∋ Si dice parallelismo se i due vettori hanno uguali direzione.

Teorema #1

Se →b e →a sono vettori paralleli, si ha che:

→b || →a <-> ∃ m ∊ ℝ : →b = m→a

La dimostrazione segue immediatamente dalle definizioni precedenti.

Somma di vettori

Siano ₁, ₂ due vettori tali per cui:

₁ = A₁ - A₂ = A₂ - A

Si definisce vettore somma (₁ + ₂) o risultante di ₁ e ₂, il vettore

₁ + ₂ = A₂ - A₁

Per sua natura il vettore A₂ - A₃ è equipollente ad A₁ = ₁ e A₃ - A₁ è equipollente ad P₂ - A = ₂ per cui:

₁ + ₂ è equipollente ad A₁ (A₂ - A₃) + (A₃ - A₁)

₁ + ₂ = ₂ + ₁

Siano ₁, ₂, ..., _m m vettori. Si ha che:

_i = A_i - A _n = A_m - A_m-1

Si intende per Differenza di vettori la somma fra il primo vettore e l'opposto del secondo:

₁ - ₂ = ₁ + (- ₂)

Teorema #2

Definita come Complanarità fra direzioni vettoriali una proprietà per la quale 3 vettori, con origine nello stesso punto, giacciono sullo stesso piano, si ha che ogni vettore è scomponibile nei due vettori la cui somma è proprio ₃.

_{2 3}

₁\ ₁ + ₂ = ₃

\\ Tali vettori sono complanari ad a* con\ direzioni distinte.

Dimostrazione:

₂ = C-A ₁ = C-A = B-D

₂ = D-A ₂ = D-A = B-C

₂ = B-A (ABCD è un parallelogramma)

Costruite le rette passanti per B parallele alle direzioni date da ₁, ₂ ottenete il parallelogramma ABCD, per cui i* che lo contiene.

Piano generico

Si ha che:

₂ = B-A = (D-A) + (B-D) = ₁ + ₂

Teorema #3

Ogni vettore è dello spazio è scomponibile in 3 ulteriori vettori di direzioni non complanari fra loro le cui somme è

Dimostrazione:

Dati i vettori, , non complanari, si deve dimostrare che: Se la direzione di coincide con una delle direzioni di, lo dimostra immediata poichè gli altri due vettori vanno a zero:

Alla := >=

Se la direzione è diversa si ha che:

Associato ad il vettore la cui direzione è data dalla retta di intersezione tra i piani di e die' => sono complanari.

Per come è definito nello spazio il per il recente precedente il pto e

Per Si considerino le direzioni dei vettori B'-D e B'-C, allora ∃q̅₂, q₁ ∈ E̅³:

q̅₂ // B'-C ↓

q̅₂ // B'-D

Poiché Q¹=B'-A=(C-A)+(B'-C)=Q₁+Q₂⇒ Q= q̅₁+q̅₂= q₁+q₂+q₃(poiché q̅₁ si può scomporre in q̅₁+q̅₂)

Osservazione

Sia π il piano individuato da q̅₁, q̅₂ e sia1,2 ⊂ π: A∈E ⊄⇒ Si ha che q̅₃ è la componente normale a π di q̅, mentre q̅₂, q̅₁ si dicono componenti lungo il piano π.

Rappresentazione cartesiana dei vettori

Si consideri il riferimento cartesiano Oxyz ed i tre vettori q̅₁, q̅₂, q₃ nelle direzioni dei tre assi, i cui versori fondamentali î ȷ̂ k̂, i versori unitari nelle direzioni degli assi cartesiani.

Si ha che:

q̅₁ // x => ∃q_x∈ℝ: q₁ ∍ Qx î

q̅₂ // y => ∃q_y∈ℝ: Q₂ qy ȷ̂

e q̅₃ // z => ∃q_z∈ℝ: Q₃ qz k̂

Lettera per il vettore n₃, poiché x,y,z sono non acutamente, il vettore è tale per cui:

ŷ = ŷ₁ + ŷ₂ + ŷ₃

| ŷxⁱ + ŷy j + ŷz k |

Qx,Qy,Qz -> si dicono componenti cartesiane di ŷ

Proprietà

ŷ = b ŷx = bx (1) ŷy = by (1) ŷz = bz

Se ŷ = c b + c si ha due

(bx¹ + by j + bz k) + (cx i¹ + cy j + cz k)

c (bx + cx) i¹ + (by + cy) j¹ + (bz + cz) n¹

{ ŷx = bx + cfx ŷy = by + cy ŷz = bz + cz iⁱ = 1 j^j = 1 k^k = 1

i^j = 0 ecc...

⇒ a · b = (ex,qy,qz) · (bx,by,bz)^c

ex bx + qy by + qz qz

Se α L'angolo fra ŷ e l'axe x per definizione dei prodotto scalare si ha due:

| ŷx = α cos d = Qx(ax,Qy,Qz) · (1,0,0)

In modo analogo:

α_y = αcosβ

α_z = αcosφ

α_x² + α_y² + α_z² = α²cos²α + α²cos²β + α²cos²φ == α²(cos²α + cos²β + cos²φ)= 1

a² = α_x² + α_y² + α_z²

Teorema di Pitagora

La componente di un vettore lungo un asse corrisponde alla sua proiezione sull’asse stesso e vale che:

α_z = αcosδ

a x b ⋅ c =

|^{i j k}|

| a_x a_y a_z |

| b_x b_y b_z |

a x b ⋅ c =

| a_x a_y a_z |

| b_x b_y b_z |

| c_x c_y c_z |

Doppio prodotto vettoriale

Si dimostra che:

(a×b)×c = (a·c)b - (b·c)a

Infatti, se si sceglie un set tale per cui c||z si ha che:

c = ck , a·c = a_zc , b·c = b_zc i j u => | ayb_z-a_zb_y a_zb_x-a_xb_z a_xb_y-a_yb_x | 0 0 c

a x b = (a_yb_z - a_zb_y ... )= a_zc( b_x i + b_y j + b_z k ) - b_zc( a_x i + a_y j + a_z k )

c (a·c)b - (b·c)a

Tale formula è utile per la risoluzione delle equazioni vettoriali del tipo:

a × x = b

Per definizione di prodotto vettoriale a⊥b= si dimostra che x₀·c è soluzione.

In effetti:

a × x₀ = a x b¯ x a

1/α²(b x a) × a= -1/α²[ (b·c ) a - (a·c )b]

1/α²(- (a·b)c)

a⊥b o b⊥a = 0

Poi che, inoltre, ax ≠ 0 e si ha che:

x̅ = x̅₀ + ha̅ con h ∈ ℝ

Il luogo di tutti i pt tali per cui:

x̅ = P-O

con a̅ x (P-O) = 0

è una retta parallela ad a̅.

Vettori variabili e loro derivazione

Sia t una variabile numerica tale per cui

t ∈ I = (t₁, t₂), t₁, t₂ ∈ ℝ. Se ad ogni valore che t assume in I è associabile ununico vettore u̅(t) di esso si dice Vettor-funzione (o funzione vettoriale) ū di t:

u̅ = u̅(t) ∀ t ∈ I

Per e proprietà vettoriali viste in precedenza anche le componenti di u̅ sono funzioni (scalari) di t:

u_x = u_x(t) , u_y = u_y(t) , u_z = u_z(t)

Definizione: limite per funzioni vettoriali

Si dice che, sia

\(\lim_{{t \to t_0}} \underline{u}(t) = U_0 \Leftrightarrow \) \( \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall t \in (t_0 - \delta, t_0 + \delta ) \)   \ \( \)     \( | \underline{u}(t) - U_0 | Poiché \(